Một số dạng toán BĐT Cosi

K

kyoletgo

làm bài 8 nhé.
[tex]S = x^2 +19y^2+6z^2-8xy-4xz+12yz[/tex]
[tex]S = (x-4y)^2 +3y^2+6z^2-4xz+16yz-4yz[/tex]
[tex]S = (x-4y)^2 -4z(x-4y)+4z^2+3y^2-4yz+2z^2[/tex]
[tex]S = (x-4y-2z)^2 +y^2+2(y-z)^2[/tex]
x,y,z ko đồng thời = 0 => đpcm
 
K

kyoletgo

Bài 10 nhé.
Giả sử xảy ra đồng thời
a+b<c+d (1)
(a+b)(c+d) < ab+cd (2)
(a+b)cd < (c+d)ab (3)
Đặt
a+b=x;c+d=y;ab=z;cd=t;
Có:
x<y (1)
xy<z+t (2)
xt<yz (3)
Với [tex]x^2>=4z; y^2>= 4t[/tex]
Nhân 2 vế của (1) với (2) có
[tex]x^2<z+t[/tex]
=> 4z < z+t => z< t/3
Nhân 2 vế của (2) và (3) có
[tex]x^2<\frac{z(z+t)}{t}=\frac{z^2}{t}+z[/tex]
=> [tex]4z< \frac{z^2}{t}+z[/tex]
=> [tex]4< \frac{z}{t}+1[/tex]
=> [tex]3< \frac{z}{t}[/tex]
=> 3t<z
mà z<t/3 => 3t<t/3 (láo)
=> đpcm
 
D

daodung28

..........................Gộp bài.........................................
 
Last edited by a moderator:
H

hn9atp

daodung28 said:
nếu ko ai trả lời thì mình post câu trả lời câu 4 nhá.
[TEX]\frac{a+b+c}{2}\geq \sqrt{(a+b)c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4 \geq (a+b)c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(a+b) \geq (a+b)^2c\geq 4abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)\geq abc[/TEX]
còn lại tương tự...:)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Xin lỗi hình như có vấn đề bạn ạ
khiC/m
[TEX]\frac{a+b+c}{2}\geq \sqrt{(a+b)c}[/TEX]
bạn dùng Cô si cho 2 số (a+b) và c đúng không
nên dấu bằng<=> a+b=c
Sau đó bạn sử dụng(a+b)^2>=4ab (ở dấu "<=>" thứ 2) dấu "=" <=> a=b
Nên dấu bằng để (a+b)>=abc là 2a=2b=c
Bạn bảo tương tự nghĩa là 2a=2c=b
và2b=2c=a
mà a,b,c>0 =>vô lý
Bạn nhớ trả lời nhé
Tớ gửi bài nhé
Cho a,b,c>0và a+b+c=1
Tìm minP=căn(a^2+ab+b^2)+căn(b^2+bc+c^2)+căn(c^2+ca+a^2)
xin lỗi mình không biết đánh CT toán
 
Q

quang27

Vài bài nửa đây:
Với a, b, c,d >0 chứng minh:
[TEX]1/ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} [/TEX]
[TEX]2/ \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} + \frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2} + \frac{11a^3-c^3}{ac+4a^2} \leq 2(a+b+c)[/TEX]
[TEX]3/ \frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{c+d+a} + \frac{c}{d+a+b} + \frac{d}{a+b+c} \geq \frac{4}{3}[/TEX]
 
0

01263812493

quang27 said:
Vài bài nửa đây:
Với a, b, c,d >0 chứng minh:
[TEX]1/ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} [/TEX]
[TEX]2/ \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} + \frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2} + \frac{11a^3-c^3}{ac+4a^2} \leq 2(a+b+c)[/TEX]
[TEX]3/ \frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{c+d+a} + \frac{c}{d+a+b} + \frac{d}{a+b+c} \geq \frac{4}{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1. Cauchy - Schwarz ra liền
2.Chứng minh cái này:[tex] \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} \leq 3b-a [/tex]
Thật vậy: [TEX]11b^3-a^3 \leq (ab+4b^2)(3b-a)=3ab^2-a^2b+12b^3-4ab^2=12b^3-a^2b-ab^2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX] Đúng
Thiết lập:
[TEX]\blue \huge \left{ \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} \leq 3b-a\\\frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2} \leq 3c-b\\ \frac{11a^3-c^3}{ac+4a^2} \leq 3a-c[/TEX]
Cộng lại

3.[TEX]LHS=\frac{a^2}{ab+ac+ad} + \frac{b^2}{bc+bd+ab} + \frac{c^2}{cd+ac+bc} + \frac{d^2}{ad+bd+cd} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd} \geq \frac{4}{3}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
H

hoa_giot_tuyet

Đề thi châu Á-Thái Bình Dương năm 2000 :D
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng :
[TEX]\sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqrt{c+ab} \geq 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}[/TEX]
 
Q

quan8d

hoa_giot_tuyet said:
Đề thi châu Á-Thái Bình Dương năm 2000 :D
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng :
[TEX]\sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqrt{c+ab} \geq 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]\sqrt{a+bc} = \sqrt{(a+c)(a+b)} \geq a+\sqrt{bc} (BDT BCS)[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\sqrt{b+ca} \geq b+\sqrt{ac}[/TEX]
[TEX]\sqrt{c+ab} \geq c+\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqrt{c+ab} \geq 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}[/TEX]
 
H

hoa_giot_tuyet

quan8d said:
[TEX]\sqrt{a+bc} = \sqrt{(a+c)(a+b)} \geq a+\sqrt{bc} (BDT BCS)[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\sqrt{b+ca} \geq b+\sqrt{ac}[/TEX]
[TEX]\sqrt{c+ab} \geq c+\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqrt{c+ab} \geq 1 + \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Hjx giải đúng ùi, mờ giải thick hộ e tý :)
a + bc = (a+c)(a+b) ? :-?
 
G

girltoanpro1995

Noel

Tưởng pic này rơi vào quên lãng rồi :D. Tks cả nhà đã ủng hộ pic ;)). Em post thêm nè :).
1)Cho a,b,c là các số tự dương sao cho [tex]a\geq c....vs....b\geq c[/tex].
Prove: [tex]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c} \leq \sqrt{ab} [/tex]
2) Cho hai số thực dương a,b.
Prove: [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \geq \sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex]
3) Cho hai số thực dương a,b.
Prove: [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} + 7(a+b) \geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex]
4) Cho 3 số là số thực dương.
Prove: [tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+c^2}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
Chúc cả nhà giáng sih zui zui :D
 
Q

quan8d

girltoanpro1995 said:
Tưởng pic này rơi vào quên lãng rồi :D. Tks cả nhà đã ủng hộ pic ;)). Em post thêm nè :).
1)Cho a,b,c là các số tự dương sao cho [tex]a\geq c....vs....b\geq c[/tex].
Prove: [tex]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c} \leq \sqrt{ab} [/tex]
2) Cho hai số thực dương a,b.
Prove: [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \geq \sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex]
3) Cho hai số thực dương a,b.
Prove: [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} + 7(a+b) \geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex]
4) Cho 3 số là số thực dương.
Prove: [tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+c^2}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
Chúc cả nhà giáng sih zui zui :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1) [TEX] \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{(c+b-c)(c+a-c)}=\sqrt{ab} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
0

0915549009

girltoanpro1995 said:
4) Cho 3 số là số thực dương.
Prove: [tex]\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+c^2}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Dễ dàng chứng minh dc bdt trên như sau: Áp dụng co si ngược dấu
[tex] \Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/tex]

Tương tự ;));));))
 
Last edited by a moderator:
0

01263812493

girltoanpro1995 said:

2) Cho hai số thực dương a,b.
Prove: [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \geq \sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cauchy /:)
[TEX]ab\sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{ab}\sqrt{2ab(a^2+b^2)} \leq \frac{(a+b)}{2}\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{(a+b)^3}{4} \leq a^3+b^3[/TEX]
BDT cuối không sai vì khi ta xét hiệu:
[TEX]4(a^3+b^3)-(a+b)^3 \Leftrightarrow 3(a+b)(a-b)^2 \geq 0 \ \ \ \blue \ ->\ \ All \ right[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom