Một số dạng toán BĐT Cosi

[girltoanpro1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bài tập về BĐT ( đổi tên mới theo yêu cầu)

Mình thấy mấy bài tập áp dụng BĐT Cosi. Các bạn vào làm thử nha. Phiền các bạn làm rõ các bước cho dễ nhìn . Đừng spam nhé. Hjhj
Nhắc lại:
​

BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm

:

(1)
- Cách viết tương đương:

. (2)
Dấu

xẩy ra khi và chỉ khi

.
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý

, ta có:
-

(Vì

.

Một số kết quả thường dùng:
​

1)

Thật vậy, vì

nên

. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:

.

2)

Thật vậy, vì

nên

. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:

.

Một số dạng bài tập:
​

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi

ta có:

.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.Chứng minh rằng

Bài 3: Chứng minh rằng:
a.

.
b.

c. Với mọi góc

, ta có:

.
d.

.
e.

.

 

[quang27]

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.Chứng minh rằng

Ta có [TEX](x-1)+(5-x)\geq2 \sqrt{(x-1)(5-x)}[/TEX] (cô-si)
=> [TEX]16\geq4(x-1)(5-x) [/TEX] => Đpcm

 

[quang27]

c. Với mọi góc

, ta có:

Ta có [TEX]tg\alpha + cotg\alpha = tg\alpha + \frac{1}{tg\alpha} \geq 2\sqrt{tg\alpha \frac{1}{tg\alpha}} = 2 [/TEX] => Đpcm

 

[quan9d_dtm_vn]

Một số dạng bài tập:​

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi

ta có:

.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Bài 3: Chứng minh rằng:
a.

.
b.

c. Với mọi góc

, ta có:

.
d.

.
e.

.

1,
[TEX]4x-5+\frac{1}{x-1} = 4x-4+\frac{1}{x-1}-1 \geq 4-1 = 3[/TEX]
3,
a. [TEX]4-3x+\frac{4}{1-3x} = 1-3x+ \frac{4}{1-3x}+3 \geq 4+3 = 7[/TEX]
b.[TEX]1-3x+\frac{3}{2-x} = 6-3x+\frac{3}{2-x}-5 \geq 2.3-5 = 1[/TEX]
c. [TEX]tan\alpha+cot\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha }+\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\geq 2[/TEX]
d. [TEX](3-x)(2+x) = 6+x-x^2 = \frac{25}{4}-(x-\frac{1}{4})^2 \leq \frac{25}{4}[/TEX]
e. [TEX](2-x)(1+2x) = 2+3x-2x^2 = \frac{25}{8}-2(x-\frac{3}{4})^2 \leq \frac{25}{8}[/TEX]

 

[trydan]

Cauchy cơ bản

Bài 1: Cho a, b, c >0 thỏa

Chứng minh rằng

Bài 2: Cho

Chứng minh rằng

 

[01263812493]

Bài 1: Cho a, b, c >0 thỏa

Chứng minh rằng

Bài 2: Cho

Chứng minh rằng

Topic này lập ra chủ yếu là giúp các bạn tập làm quen với các bất đằng thức cơ bản nên mong mọi người có post bài thì post bài cơ bản và giải thì phải rõ ràng dễ hiểu.
1.Ta có:[TEX]\frac{1}{(a+b)c} +\frac{1}{(b+c)a}+\frac{1}{(c+a)b}=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+ \frac{ac}{a+c} \leq \frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+ \frac{a+c}{4}= \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

2. Dùng Cauchy:
[TEX] \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ \frac{1}{4ab}+4ab+ \frac{1}{4ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2}+2+\frac{1}{(a+b)^2}=7[/TEX]

 

[quang27]

Mình có một bài đây:
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
[TEX] S= \frac{4a}{b+c-a} + \frac{9b}{a+c-b} + \frac{16c}{a+b-c} [/TEX]

 

[girltoanpro1995]

Part 2

Phương pháp tổng quát:​

B) Hệ quả của Cosi + ý nghĩa hình học:

Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Tức là,với hai số dưông a,b có a+b=S không đổi suy ra:
[tex]2\sqrt{ab} \leq S [/tex]
[tex]\Leftrightarrow ab \leq \frac{S^2}{4}[/TEX]
Max là [tex] \frac{S^2}{4}[/TEX] Dấu bằng xảy ra khi a=b
Ý nghĩa hình học:Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn hơn.
Hệ quả 2:Nếu hai số dưong thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
Tức là, với hai số dương a,b có ab=P không đổi suy ra:
[tex]a+b \geq 2\sqrt{P} [/tex]
Min là [tex]2\sqrt{P} [/tex] khi a=b
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất

A) Các dạng dùng BĐT:
I) Tìm Max , Min:
Cách thực hiện:
1/Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm max cuả hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:
a. CMR [tex] f(x,y) \leq M [/tex]với mọi x,y cho trước
b. Tìm các giá trị của x,y để f(x,y) =M
Từ đó đưa ra lời kết luận
2/Việc Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm min của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:
a. CMR [tex] f(x,y) \geq M [/tex] với mọi x,y cho trước
b. Tìm các giá trị của x,y để f(x,y) =M
Từ đó đưa ra lời kết luận
II)Sử dụng bất dẳng thức Côsi giải phương trình,bất phương trình và hệ đại số
Phương pháp thực hiện:
Bằng việc Sử dụng bất dẳng thức Côsi để tìm giá max, min hàm số chúng ta sẽ đánh giá được một vế hoặc đôi khi là cả 2 vế của phương trình ,bất phưong trình từ đó đưa ra nhận xét sự tồn tại của nó.
C. Bài tập:
1) Tìm max của hàm số Y=(2x+1)(2-3x)
2) Tìm min của hàm số: [tex] y=\frac{2x+1}{x^2}[/tex]
3) Tìm nghiệm dương của phương trình [tex]2x^3+\frac{3}{x^2}[/tex]

 

[quan9d_dtm_vn]

Mình có một bài đây:
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
[TEX] S= \frac{4a}{b+c-a} + \frac{9b}{a+c-b} + \frac{16c}{a+b-c} [/TEX]

[TEX]\frac{4a}{b+c-a} + \frac{9b}{a+c-b} + \frac{16c}{a+b-c} =[/TEX] [TEX]\frac{a+b+c}{2}.(\frac{4}{b+c-a}+\frac{9}{c+a-b}+\frac{16}{a+b-c})-\frac{29}{2}[/TEX] \geq [TEX]\frac{a+b+c}{2}.\frac{(2+3+4)^2}{(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)} -\frac{29}{2} = \frac{81}{2}-\frac{29}{2}=26[/TEX]
Bài mới này....
Chứng minh rằng với a,b,c dương thì :
[TEX]\sum \sqrt[3]{\left(\frac{a}{b+c} \right)^2} \geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}[/TEX]

 

[quang27]

1) Tìm max của hàm số Y=(2x+1)(2-3x)

Ta có [TEX](2x+1)(2-3x) = \frac{1}{6}3(2x+1)2(2-3x) = \frac{1}{6}(6x+3)(4-6x)[/TEX]
Có [TEX]( \frac{ (6x+3) + (4-6x)}{2})^2 \geq (6x+3)(4-6x) [/TEX]
=> [TEX](2x+1)(2-3x) \leq \frac{1}{6}.\frac{49}{4}= \frac{49}{24}[/TEX]

 

[quang27]

Các bạn có thể mở rộng thêm nhiều bất đẳng thức thường gặp ngoài bất đẳng thức côsi được không. Nếu bạn nào biết thì post lên cho mình học hỏi với nhé

 

[01263812493]

2) Tìm min của hàm số: [tex] y=\frac{2x+1}{x^2}[/tex]
3) Tìm nghiệm dương của phương trình [tex]2x^3+\frac{3}{x^2}[/tex]

2.[TEX]y=\frac{x^2+2x+1-x^2}{x^2}=\frac{(x+1)^2}{x^2}-1 \geq -1 \Leftrightarrow x=-1[/TEX]

3.Nên sủa lại tìm Min:
Ta có: [tex]2x^3+\frac{3}{x^2} = x^3+x^3+\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{x^2} \geq 5 \Leftrightarrow x^3=\frac{1}{x^2}\Rightarrow x=1[/tex]

Các bạn có thể mở rộng thêm nhiều bất đẳng thức thường gặp ngoài bất đẳng thức côsi được không. Nếu bạn nào biết thì post lên cho mình học hỏi với nhé

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các bất đẳng thức thì vào topic bất đẳng thức của box 9 mà xem, pic này hình như chỉ là Cauchy cơ bản thoy

 

[girltoanpro1995]

Bây h chuyển thành BĐT ( Part 3)

Các bạn có thể mở rộng thêm nhiều bất đẳng thức thường gặp ngoài bất đẳng thức côsi được không. Nếu bạn nào biết thì post lên cho mình học hỏi với nhé

Tại mình ngồi đọc về Cosi nên lập pic về cái này . Với lại BĐT Cosi áp dụng cho cả vật lí lớp 9 nữa nên địh post phần lí ). Bây h làm tùm lum BĐT lun :x
1) So sánh các số:
[tex]a=\frac{\sqrt{5}+1}{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}[/tex]
[tex]b =\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]
2) Chứng minh:
[tex]\frac{7}{5} < \frac{2+\sqrt{3} }{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} < \frac{29}{20}[/tex]
3) Chứng minh:
[tex] a^2+b^2 \geq a+b- \frac{1}{2}[/tex]
4) Cho a,b,c là số dương. C/m:
[tex]3( a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) [/tex]
5) Chứng minh BĐT BCS ( đừng hỉu nhầm) =))
[tex] (ac+bd)^2 \leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)[/tex]
6) Chứng mih: ( với a,b,c > 0)
[tex]2( a^3+b^3+c^3) \geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)[/tex]
7) Chứng minh:
[tex]( a a' +b b' +c c')^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)[/tex]
8) Chứng minh nếu x,y,z k đồng thời bằng 0 thỳ ta có:
[tex] x^2+19y^2+6z^2-8xy-4xz+12yz>0[/tex]
9) Cho 2005 số thực dương [tex] a_1; a_2; a_3;...a_{2005}[/tex]
Gọi [tex] A= max_{a_1;a_2;...a_{2005}} [/tex]. C/m:
[tex] (a_1+a_2+a_3+...+a_{2005})^2 < 2A (a_1+2a_2+3a_3+...+2005a_{2005})[/tex]
10) Cho 4 số dương bất kì. C/m 3 BĐT sau k đồng thời xảy ra 1 lúc.
[tex]a+b<c+d (1) [/tex]
[tex] (a+b)(c+d) < ab+cd (2) [/tex]
[tex] (a+b)cd < (c+d)ab (3)[/tex]
p/s: Phù. Cuối cùng cũng đc 10 câu ). Ghét cái tex dễ sợ . Mất công we' . Nhớ tks nha .Công sức of tớ ).
@ Q3: post đề nâng cao hay cơ bản đều đc hết . Miễn làm dễ nhìn là đc mà . Tks U. Mà k tks tui nhá :-w . Keo kiệt

 

[legendismine]

Các bạn có thể mở rộng thêm nhiều bất đẳng thức thường gặp ngoài bất đẳng thức côsi được không. Nếu bạn nào biết thì post lên cho mình học hỏi với nhé

5) Chứng minh BĐT BCS ( đừng hỉu nhầm)
(ac+bd)^2 \leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)

Bất đẳng thức BCS và một số hệ quả :
Với dãy số [tex]a_1,a_2,...a_n[/tex] và [tex]b_1,b_2,...b_n[/tex] là các số thực bất kì luôn thỏa mãn:
[tex](a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\le (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi có một số k nào đó sao cho[tex]a_i=kb_i[/tex] với mọi i=1,2,.....n
Chứng minh khá đơn giản bất đẳng thức tương đương
[tex]\sum\limits_{i,j=1}^{n}(a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0[/tex]
Hệ quả:
Với 2 dãy số [tex](a_1,a_2,...a_n)[/tex] và [tex](b_1,b_2,...b_n)[/tex] , [tex]b_i\ge 0[/tex] Với [tex]\forall i=\overline {1,n}[/tex]:
[tex]\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_i}\ge \frac{(a_1+a_2+...a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n)[/tex]
Đây là bất đẳng thức BCS ở dạng Engel
Hệ quả 2:
Cũng với 2 dãy số trên ta có:
[tex]\sqrt {a_1^2+b_1^2}+\sqrt {a_2^2+b_2^2}+....+\sqrt{a_n^2+b_n^2}\ge \sqrt {(a_1+a_2+....+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}[/tex]
Bất đẳng trên còn gọi là bdt Minkowsky và việc chứng minh cũng không mấy phức tạp các cô cậu chỉ cần chứng minh vs 2 số sau đó quy nạp lên là được:
Với n=2
[tex]\Leftrightarrow(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)\ge (a_1b_1+a_2b_2)^2[/tex]

 

[quan8d]

Tại mình ngồi đọc về Cosi nên lập pic về cái này . Với lại BĐT Cosi áp dụng cho cả vật lí lớp 9 nữa nên địh post phần lí ). Bây h làm tùm lum BĐT lun :x
3) Chứng minh:
[tex] a^2+b^2 \geq a+b- \frac{1}{2}[/tex]
4) Cho a,b,c là số dương. C/m:
[tex]3( a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) [/tex]
5) Chứng minh BĐT BCS ( đừng hỉu nhầm) =))
[tex] (ac+bd)^2 \leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)[/tex]
6) Chứng mih: ( với a,b,c > 0)
[tex]2( a^3+b^3+c^3) \geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) [/tex]
7) Chứng minh:
[tex]( a a' +b b' +c c')^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)[/tex]

3) [TEX]BĐT \Leftrightarrow 2(a^2+b^2)+1 \geq 2(a+b) [/TEX]
Đúng vì [TEX]2(a^2+b^2) +1 \geq (a+b)^2+1\geq 2\sqrt{(a+b)^2.1}=2(a+b)[/TEX]
4) và 6) giống nhau : 4) \Rightarrow 6)
[TEX]a^3+b^3-a^2b-ab^2 = (a+b)(a-b)^2 \geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2[/TEX]
Tương tự :
[TEX]b^3+c^3 \geq b^2c+bc^2[/TEX]
[TEX]c^3+a^3 \geq c^2a+ca^2[/TEX]
[tex]\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)[/tex]
5) [TEX]BĐT \Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd [/TEX][TEX]\leq a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ad-bc)^2 \geq 0[/TEX]
7) Tương tự 5)

 

[hn9atp]

Bài 6 của bạn girltoanpro
VP=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) =<(a^3+b^3)+(a^3+b^3)+(b^3+c^3)=VT
(từ BĐT :a^3+b^3>=ab(a+b) các bạn tự c/m)
Dấu "=" <=>a=b=c
Còn bài 8
VT=(x^2+16y^2+4z^2-8xy-4xz+16yz)+(2y^2-4yz+2z^2)+y^2=(4y+2z-x)^2+2(y-z)^2+y^2>0(vì x,y,z không đồng thời bằng 0)
Còn bài 5 là BĐT Bu-nhi-a cho 2 số bài 7 là Bu-nhi-a của 3 số(không cần dương) (Cái nàycó trong nhiều sách nói lắm hoặc bạn xem luôn trong Nâng cao và phát triển của Vũ Hữu Bình để tớ khỏi phải c/m lại)

 

[girltoanpro1995]

Part 4

1) So sánh các số:
[tex]a=\frac{\sqrt{5}+1}{5\sqrt{10-2\sqrt{5}}}[/tex]
[tex]b =\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]
2) Chứng minh:
[tex]\frac{7}{5} < \frac{2+\sqrt{3} }{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} < \frac{29}{20}[/tex]
9) Cho 2005 số thực dương [tex] a_1; a_2; a_3;...a_{2005}[/tex]
Gọi[tex] A= max_{a_1;a_2;...a_{2005}}[/tex] . C/m:
[tex](a_1+a_2+a_3+...+a_{2005})^2 < 2A (a_1+2a_2+3a_3+...+2005a_{2005})[/tex]
10) Cho 4 số dương bất kì. C/m 3 BĐT sau k đồng thời xảy ra 1 lúc.
a+b<c+d (1)
(a+b)(c+d) < ab+cd (2)
(a+b)cd < (c+d)ab (3)

Còn mấy em chưa ai chém nè . Chém nốt nhá ). Mìh post đề mới nhé .
1) Cho số dương x,y,z thoả mãn [tex]x^3+y^3+z^3=1[/tex]
C/m: [tex] \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}[/tex]

Đề thi vào lớp 10 trường PTTH Chuyên Trần Đại Nghĩa năm 2004-2005​

2)Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh và p là nửa chu vi của 1 tam giác.
C/m: [tex](p-a)(p-b)(p-c)\leq \frac{1}{8}abc [/tex]

Đề thi vào lớp 10 trường PTTH Chuyên Trần Đại Nghĩa năm 2002-2003​

3)C/m:
a) [tex] \left|a+b \right| \leq \left|a \right|+\left|b \right| [/tex]
b) [tex] \left| a \right|-\left| b \right| \leq \left|a-b \right| [/tex]
4) Cho a,b là số dương.
C/m: [tex] \sqrt{a^2+b^2} > \sqrt[3]{a^3+b^3}[/tex]
5) Cho a,b là 2 số thực dương.
C/m: [tex] \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{3( \sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a+b}} > 6 [/tex]

 

[daodung28]

mình cũng có một số dạng bài về BDT côsi, post lên cho mọi người cùng xem
1.cho a,b,c >0. thoả mãn
[TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2[/TEX]
cmr
[TEX]abc\leq \frac{1}{8}[/TEX]
2.cho a,b,c >0
cmr [TEX]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca[/TEX]
3. cho x,y,z >0 cmr
[TEX]\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}[/TEX]
4.cho a,b,c >0 a+b+c=4
cmr [TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3b^3c^3[/TEX]
5.cho x,y,z>0 x+y+z=2
cmr [TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq 1[/TEX]

vẫn còn nhưng để lần sau post tiếp

 

[quan8d]

mình cũng có một số dạng bài về BDT côsi, post lên cho mọi người cùng xem
1.cho a,b,c >0. thoả mãn
[TEX]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2[/TEX]
cmr
[TEX]abc\leq \frac{1}{8}[/TEX]
2.cho a,b,c >0
cmr [TEX]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca[/TEX]
3. cho x,y,z >0 cmr
[TEX]\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}[/TEX]
4.cho a,b,c >0 a+b+c=4
cmr [TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3b^3c^3[/TEX]
5.cho x,y,z>0 x+y+z=2
cmr [TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq 1[/TEX]

vẫn còn nhưng để lần sau post tiếp

1. [TEX]\frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{b}{b+1}\frac{c}{c+1}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \prod \frac{1}{1+a} \geq 8.\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{8} \geq abc[/TEX]
2.[TEX]\frac{a^3}{b}+ab+\frac{b^3}{c}+bc+\frac{c^3}{a}+ca \geq 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca[/TEX]
3.[TEX]\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1}{y^4}\geq \frac{(x+1)^2}{x^6+y^4} \geq \frac{4x}{x^6+y^4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum \frac{1}{x^4} \geq \sum \frac{2x}{x^6+y^4}[/TEX]
5. [TEX]\sum \frac{x^2}{y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+x}=x+y+z=2[/TEX]
4. Chưa kịp làm

 

[daodung28]

nếu ko ai trả lời thì mình post câu trả lời câu 4 nhá.
[TEX]\frac{a+b+c}{2}\geq \sqrt{(a+b)c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4 \geq (a+b)c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(a+b) \geq (a+b)^2c\geq 4abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)\geq abc[/TEX]
còn lại tương tự...