- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Các nguyên hàm cơ bản cần nhớ để làm bài tập:
[tex]+>\int sinxdx=-cosx+C[/tex]
[tex]+>\int cosxdx=sinx+C[/tex]
[tex]\int \frac{1}{cos^2x}dx=tanx+C[/tex]
[tex]\int \frac{-1}{sin^2x}=cotx+C[/tex]
Và các công thức hàm hợp có liên quan.
Dạng 1: Nguyên hàm của tích các hàm số lược giác.
Cách làm: sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để biến đổi tích thành tổng. Nếu ai không nhớ có thể xem lại các công thức biến đổi này ở trong SGK lớp 11.
1. [tex]\int cos2xcos4xdx=\int \frac{cos6x+cos2x}{2}dx=\frac{sin6x}{12}+\frac{sin2x}{4}+C[/tex]
2. [tex]\int cosxsin2xcos3xdx=\int \frac{sin3x+sinx}{2}cos3xdx=\int \frac{sin3xcos3x}{2}dx+\int \frac{sinxcos3x}{2}dx[/tex]
=[tex]\int \frac{sin6x}{4}dx+\int \frac{sin4x-sin2x}{4}dx=\frac{-cos6x}{24}-\frac{cos4x}{16}+\frac{cos2x}{8}+C[/tex]
Dạng 2: Nguyên hàm của các lũy thừa của hàm lượng giác.
Cách làm: sử dụng công thức hạ bậc trong biến đổi lượng giác để đưa hàm về bậc thấp hơn, có thể lấy được nguyên hàm.
Công thức hạ bậc của bậc 3 sin và cos: [tex]cos^3x=\frac{cos3x+3cosx}{4};sin^3x=\frac{3sinx-sin3x}{4}[/tex]
1. [tex]\int sin^3x+cos^3xdx=\int \frac{3sinx-sin3x}{4}dx+\int \frac{cos3x+3cosx}{4}dx=\frac{-3cosx}{4}+\frac{cos3x}{12}+\frac{sin3x}{12}+3\frac{sinx}{4}+C[/tex]
2. [tex]\int sin^2xcos^4xdx=\int \frac{1-cos2x}{2}.(\frac{1+cos2x}{2})^2dx=\int \frac{1-cos2x}{2}\frac{cos^22x+2cos2x+1}{4}dx[/tex]
[tex]=\int \frac{-cos^32x-cos^22x+cos2x+1}{8}dx=\frac{1}{8}\int-(\frac{cos6x+3cos2x}{4})-(\frac{1+cos4x}{2})+cos2x+1dx =\frac{-sin6x}{132}-\frac{sin4x}{64}+\frac{sin2x}{64}+\frac{x}{16}+C[/tex]
Dạng 3: Nguyên hàm của hàm: [tex]\frac{1}{asinx+bcosx}[/tex]
Cách làm: nếu [TEX]asinx+bcosx[/TEX] có thể biến đổi bằng lượng giác về sin và cos, ví dụng như: [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx=sin(x+\frac{\pi }{6})[/tex] , thì lập tức biến đổi về để lấy nguyên hàm. Còn không ta sẽ làm như sau:
[tex]asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx)=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha )[/tex]
Với [tex]\alpha = arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex] .
Tính: [TEX]I=\int \frac{1}{3sinx+5cosx}dx[/TEX]
Ta có: [tex]I=\int \frac{1}{\sqrt{74}sin(x+\alpha )}dx=\frac{1}{\sqrt{74}}\int \frac{sin(x+\alpha ) }{1-cos^2(x-\alpha) }dx=\frac{1}{2\sqrt{74}}\int (\frac{sin(x+\alpha )}{1-cos(x-\alpha)}+\frac{sin(x+\alpha )}{1+cos(x-\alpha)})dx[/tex]
=[tex]\frac{1}{2\sqrt{74}}ln\frac{1+cos(x-\alpha)}{1-cos(x-\alpha)}+C[/tex]
Với [tex]\alpha =arcsin\frac{7}{\sqrt{74}}[/tex]
Dạng 4: Nguyên hàm của hàm: [tex]\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}[/tex]
Với dạng này cách làm như dưới đây:
Tính: [tex]I= \int \frac{cosx}{3sinx+5cosx}dx=\int \frac{a(3cosx-5sinx)+b(3sinx+5cosx)}{3sinx+5cosx}dx[/tex]
Đặt như vậy với mục đích là: [TEX]3cosx-5sinx[/TEX] chính là đạo hàm của mẫu, khi tách ra ta có thể đưa về nguyên hàm của loganepe. Còn [TEX]3sinx+5cosx[/TEX] chính là mẫu số, khi tách ra ta sẽ còn hằng số b.
Ta có: [TEX]a(3cosx-5sinx)+b(3sinx+5cosx)=cosx<=>(3b-5a)sinx+(3a+5b)cosx=cosx[/TEX]
Đồng nhất hệ số ta có: [TEX]3b-5a=0[/TEX] và [TEX]3a+5b=1[/TEX]<=>[tex]a=\frac{3}{34},b=\frac{5}{34}[/tex]
Do đó ta có [tex]I=\int \frac{3}{34}\frac{3cosx-5sinx}{3sinx+5cosx}+\frac{5}{34}dx=\frac{3}{34}ln|3sinx+5cosx|+\frac{5x}{34}+C[/tex]
[tex]+>\int sinxdx=-cosx+C[/tex]
[tex]+>\int cosxdx=sinx+C[/tex]
[tex]\int \frac{1}{cos^2x}dx=tanx+C[/tex]
[tex]\int \frac{-1}{sin^2x}=cotx+C[/tex]
Và các công thức hàm hợp có liên quan.
Dạng 1: Nguyên hàm của tích các hàm số lược giác.
Cách làm: sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để biến đổi tích thành tổng. Nếu ai không nhớ có thể xem lại các công thức biến đổi này ở trong SGK lớp 11.
1. [tex]\int cos2xcos4xdx=\int \frac{cos6x+cos2x}{2}dx=\frac{sin6x}{12}+\frac{sin2x}{4}+C[/tex]
2. [tex]\int cosxsin2xcos3xdx=\int \frac{sin3x+sinx}{2}cos3xdx=\int \frac{sin3xcos3x}{2}dx+\int \frac{sinxcos3x}{2}dx[/tex]
=[tex]\int \frac{sin6x}{4}dx+\int \frac{sin4x-sin2x}{4}dx=\frac{-cos6x}{24}-\frac{cos4x}{16}+\frac{cos2x}{8}+C[/tex]
Dạng 2: Nguyên hàm của các lũy thừa của hàm lượng giác.
Cách làm: sử dụng công thức hạ bậc trong biến đổi lượng giác để đưa hàm về bậc thấp hơn, có thể lấy được nguyên hàm.
Công thức hạ bậc của bậc 3 sin và cos: [tex]cos^3x=\frac{cos3x+3cosx}{4};sin^3x=\frac{3sinx-sin3x}{4}[/tex]
1. [tex]\int sin^3x+cos^3xdx=\int \frac{3sinx-sin3x}{4}dx+\int \frac{cos3x+3cosx}{4}dx=\frac{-3cosx}{4}+\frac{cos3x}{12}+\frac{sin3x}{12}+3\frac{sinx}{4}+C[/tex]
2. [tex]\int sin^2xcos^4xdx=\int \frac{1-cos2x}{2}.(\frac{1+cos2x}{2})^2dx=\int \frac{1-cos2x}{2}\frac{cos^22x+2cos2x+1}{4}dx[/tex]
[tex]=\int \frac{-cos^32x-cos^22x+cos2x+1}{8}dx=\frac{1}{8}\int-(\frac{cos6x+3cos2x}{4})-(\frac{1+cos4x}{2})+cos2x+1dx =\frac{-sin6x}{132}-\frac{sin4x}{64}+\frac{sin2x}{64}+\frac{x}{16}+C[/tex]
Dạng 3: Nguyên hàm của hàm: [tex]\frac{1}{asinx+bcosx}[/tex]
Cách làm: nếu [TEX]asinx+bcosx[/TEX] có thể biến đổi bằng lượng giác về sin và cos, ví dụng như: [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx=sin(x+\frac{\pi }{6})[/tex] , thì lập tức biến đổi về để lấy nguyên hàm. Còn không ta sẽ làm như sau:
[tex]asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx)=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha )[/tex]
Với [tex]\alpha = arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex] .
Tính: [TEX]I=\int \frac{1}{3sinx+5cosx}dx[/TEX]
Ta có: [tex]I=\int \frac{1}{\sqrt{74}sin(x+\alpha )}dx=\frac{1}{\sqrt{74}}\int \frac{sin(x+\alpha ) }{1-cos^2(x-\alpha) }dx=\frac{1}{2\sqrt{74}}\int (\frac{sin(x+\alpha )}{1-cos(x-\alpha)}+\frac{sin(x+\alpha )}{1+cos(x-\alpha)})dx[/tex]
=[tex]\frac{1}{2\sqrt{74}}ln\frac{1+cos(x-\alpha)}{1-cos(x-\alpha)}+C[/tex]
Với [tex]\alpha =arcsin\frac{7}{\sqrt{74}}[/tex]
Dạng 4: Nguyên hàm của hàm: [tex]\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}[/tex]
Với dạng này cách làm như dưới đây:
Tính: [tex]I= \int \frac{cosx}{3sinx+5cosx}dx=\int \frac{a(3cosx-5sinx)+b(3sinx+5cosx)}{3sinx+5cosx}dx[/tex]
Đặt như vậy với mục đích là: [TEX]3cosx-5sinx[/TEX] chính là đạo hàm của mẫu, khi tách ra ta có thể đưa về nguyên hàm của loganepe. Còn [TEX]3sinx+5cosx[/TEX] chính là mẫu số, khi tách ra ta sẽ còn hằng số b.
Ta có: [TEX]a(3cosx-5sinx)+b(3sinx+5cosx)=cosx<=>(3b-5a)sinx+(3a+5b)cosx=cosx[/TEX]
Đồng nhất hệ số ta có: [TEX]3b-5a=0[/TEX] và [TEX]3a+5b=1[/TEX]<=>[tex]a=\frac{3}{34},b=\frac{5}{34}[/tex]
Do đó ta có [tex]I=\int \frac{3}{34}\frac{3cosx-5sinx}{3sinx+5cosx}+\frac{5}{34}dx=\frac{3}{34}ln|3sinx+5cosx|+\frac{5x}{34}+C[/tex]
