Toán 12 Một số dạng bài cực trị trong không gian

Thảo luận trong 'Phương pháp tọa độ trong không gian' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 29 Tháng tư 2019.

Lượt xem: 149

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cố vấn Toán Cu li diễn đàn Cố vấn chuyên môn

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    226
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Dạng 1: Viết ptmp (P) chứa đường thẳng d và cách điểm M một khoảng lớn nhất.
    Dạng này khá là quen thuộc rồi, mình chỉ nêu lại thôi.
    upload_2019-4-29_17-48-27.png

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên d => K cố định.
    Gọi H là hình chiếu của M lên (P) => MH vuông HK
    => [TEX]MH \leq MK[/TEX] => MH lớn nhất khi H trùng K.
    Vậy bài toán trở thành viết ptmp (P) qua K và vuông góc MK.

    Dạng 2: Viết ptdt d đi qua điểm A nằm trong mp (P) cho trước, và cách điểm M (nằm ngoài (P), AM không vuông góc với (P)), một khoảng nhỏ nhất ( lớn nhất )
    upload_2019-4-29_18-16-31.png

    *Trường hợp nhỏ nhất:
    Gọi H là hình chiếu của M lên (P), tìm tọa độ H => H cố định
    Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên d.
    Ta luôn có : [TEX]MK \geq MH[/TEX]=> MK min khi K trùng H.
    Vậy bài toán trở thành viết pt d qua A và H
    *Trường hợp lớn nhất:
    Ta luôn có :
    [TEX]MK \leq MA[/TEX]=>MK max khi K trùng A=> d là đường thẳng qua A và vuông AM
    Để viết pt của d ta có: [TEX]u_d=[n_P;AM][/TEX]
    Có vtcp và điểm đi qua là A thì viết được pt của d

    Dạng 3: Viết ptmp (P) chứa đường thẳng d, và tạo với d' một góc lớn nhất.
    upload_2019-4-29_18-47-13.png

    Lấy K thuộc d, dựng KM // d' . Gọi H là hình chiếu của M lên (P).

    Ta có góc giữa d' và (P) là góc giữa MK và (P) , hay góc MKH.

    Gọi I là hình chiếu của M lên d. Ta có:

    [TEX]sinMKH=MH/MK \leq MI/MK[/TEX]
    Để góc MKH là max thì [TEX]sinMKH[/TEX] max, khi đó H trùng I

    Vậy bài toán trở thành: Viết ptmp (P) chứa d và vuông góc với MI.

    Tất nhiên, nếu giải : chọn K bất kì thuộc d, chọn M bất kì sao cho MK//d' , sau đó tìm hình chiếu I của M lên d, và viết pt. Giải như vậy là khá dài. Vậy ta để ý: (MKI) chứa d và có MK // d' nên (MKI) // d'.

    Mà (MKI) có MI vuông góc (P) nên (MKI) vuông góc (P) .

    Vậy (P) có 1 vtcp là vtpt của (MKI) , vtcp còn lại của (P) là vtcp của d, vì d nằm trong (P).

    Tổng kết ta có: [TEX]n_P=[ [u_d;u_{d'}];u_d][/TEX] , là tích có hướng của [TEX]u_d,u_{d'}[/TEX] nhân tiếp có hướng với [TEX]u_d[/TEX]. Đây là công thức chốt cho ai nhớ tốt có thể thuộc luôn, nếu gặp thì dùng.

    Ví dụ: Viết ptmp (P) chứa d: [tex]\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{2}[/tex] và tạo với đường thẳng d':
    [tex]\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{2}[/tex] một góc lớn nhất.

    Giải: Ta có : [TEX]u_d=(2;3;2), u_{d'}=(3;2;2)[/TEX]

    =>[TEX]n_P=[[u_d;u_{d'}];u_d]=(19;-14;2)[/TEX]

    A(1;1;2) thuộc d nên thuộc (P)
    => pt của (P) là: 19(x-1)-14(y-1)+2(z-2)=0

    Dạng 4: Cho mp (P) và điểm A thuộc (P) và đường thẳng d ( d cắt (P) và không vuông góc với (P)). Viết pt đường thẳng d' đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.
    upload_2019-4-29_22-11-31.png

    Trông có vẻ vẫn khá tương tự hình của dạng 3, chỉ có điều giờ d và d' đổi chỗ cho nhau. Việc dưng hình thì vẫn tương tự. Ta có góc giữa d và d' là góc MAI . Ta có:
    [TEX]cosMAI=AI/MA[/TEX]
    Để góc MAI là min thì [TEX]cosMAI [/TEX] đạt max. [TEX]CosMAI [/TEX]max khi AI max hay AI = AH hay I trùng H.

    Nhận thấy: MA//d mà H là hình chiếu của M lên (P) nên AH song song với hình chiếu của d lên (P)
    Vậy bài toán trở thành: Viết pt d' nằm trong (P), đi qua A và song song với hình chiếu của d lên (P).

    Ta có : d'//AH nên d' vuông góc với tích có hướng của [TEX][n_P,u_d][/TEX]
    d' nằm trong (P) nên d' vuông góc với vtpt [TEX]n_P[/TEX]

    Vậy kết quả cuối cùng thu được: [TEX]u_{d'}=[[n_P;u_d];n_P][/TEX]
    Có vtcp, có điểm đi qua ( là A) , ta có thể viết được pt của d' rồi.

    Trên đây là 1 số dạng nhỏ, tất nhiên đề bài có thể biến tấu đi, chúng ta phải tưởng tượng một chút để có thể vẽ hình và tìm ra hướng giải!
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->