Một số BĐT cần giúp

[hmu95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng"
1.
[TEX]\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}[/TEX]
2.
[TEX]a^2(1+b^4)+b^2(1+a^4)\leq (1+a^4)(1+b^4)[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

1, Áp dụng Cauchy 3 số ta có:

$\dfrac{a}{a+x}+\dfrac{b}{b+y}+\dfrac{c}{c+z}$ \geq $3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}$

$\dfrac{x}{a+x}+\dfrac{y}{b+y}+\dfrac{z}{c+z}$ \geq $3\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}$

Cộng từng vế ta được:

3 \geq $3\dfrac{\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}}$

\Leftrightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

[TEX]a^2(1+b^4)+b^2(1+a^4)\leq (1+a^4)(1+b^4)[/TEX]

$VT=(a^2+b^2)(a^2b^2+1)$ \leq $\dfrac{(a^2+b^2)^2+(a^2b^2+1)^2}{2}$ (1)

$VP=a^4+b^4+a^4b^4+1=(a^2+b^2)^2+(a^2b^2-1)^2$

Xét $VP-\dfrac{(a^2+b^2)^2+(a^2b^2+1)^2}{2}=\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}-2a^2b^2$

\geq $\dfrac{4a^2b^2}{2}-2a^2b^2=0$ (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Theo Holder có ngay điều phải chứng minh.

Bài 2:

Đặt $u=a^2; v=b^2$

Cần chứng minh: $u^2v^2+1 \ge uv(u^2+v^2)$

Hai vế đồng bậc 4,chuẩn hoá $u^2+v^2=2$

BDT trở thành: $P^2-2P+1=(P-1)^2 \ge 0$ với $P \le 1$ (Đúng)