Một số bài toán về số chính phương

trydan · 30 Tháng mười 2010

Tính chất(cái này khi nào rảnh thì mình đánh nhaz! Giờ làm bài tập trước đã

)

Bài 1: Chứng minh rằng

$gif.latex$

thì

$gif.latex$

là một số chính phương.

Bài 2: Cho

$gif.latex$

.
CMR:

$gif.latex$

là số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kì không phải là số chính phương.

quan8d · 30 Tháng mười 2010

trydan said:
Tính chất(cái này khi nào rảnh thì mình đánh nhaz! Giờ làm bài tập trước đã )

Bài 1: Chứng minh rằng
$gif.latex$
thì

$gif.latex$
là một số chính phương.

Bài 2: Cho
$gif.latex$
.
CMR:
$gif.latex$
là số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kì không phải là số chính phương.

1. Phân tích là ra .
2. Nhân S với 4 thì được S = k(k+1)(k+2)(k+3) . Sau đó phân tích rồi cộng 1 là ra.
3. Viết ra 2 số lẻ rồi biến đổi.

trydan · 31 Tháng mười 2010

quan8d said:
1. Phân tích là ra .
2. Nhân S với 4 thì được S = k(k+1)(k+2)(k+3) . Sau đó phân tích rồi cộng 1 là ra.
3. Viết ra 2 số lẻ rồi biến đổi.

Nếu làm thế thì trong bài kiểm tra chỉ cần " Phân tích là xong" khỏi làm bài chỉ ngồi chơi là được 10 điểm liền ah`?? HJX

girltoanpro1995 · 31 Tháng mười 2010

trydan said:
Nếu làm thế thì trong bài kiểm tra chỉ cần " Phân tích là xong" khỏi làm bài chỉ ngồi chơi là được 10 điểm liền ah`?? HJX

Tớ thử làm câu cuối nhé

( Tớ làm mò thui nên hìh như sai )

Đặt 1 số là a (a lẻ) thỳ số tiếp theo là a+2
Ta có [tex] [a+(a+2)]^2=a^2+2a(a+2)+(a+2)^2=a^2+2a^2+4a+a^2+4a+4=4(a^2+2a+4)-12=[2(a+2)]^2-12[/tex]
Mà [tex][2(a+2)]^2[/tex] là số chính phương.
12 k là số chính phương nên [tex][2(a+2)]^2-12[/tex] k là số chính phương.

trydan · 31 Tháng mười 2010

girltoanpro1995 said:
Tớ thử làm câu cuối nhé ( Tớ làm mò thui nên hìh như sai )
Đặt 1 số là a (a lẻ) thỳ số tiếp theo là a+2
Ta có [tex] [a+(a+2)]^2=a^2+2a(a+2)+(a+2)^2=a^2+2a^2+4a+a^2+4a+4=4(a^2+2a+4)-12=[2(a+2)]^2-12[/tex]
Mà [tex][2(a+2)]^2[/tex] là số chính phương.
12 k là số chính phương nên [tex][2(a+2)]^2-12[/tex] k là số chính phương.

Trời
$gif.latex$
ah`. HJX. Sai nặng nề luôn.
...........................................
..........................................
....................................

girltoanpro1995 · 31 Tháng mười 2010

trydan said:
Trời
$gif.latex$
ah`. HJX. Sai nặng nề luôn.
...........................................
..........................................
....................................

Chỗ nào vậy Try? Sao tớ đọc mà k phát hiện ra vậy? Hình như tớ làm là 4a mà? K bjk chỗ nào là 2a nhỉ?

datnickgiday · 31 Tháng mười 2010

[TEX]A = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y^4[/TEX]
[TEX]= (x^2 + 5xy + 4y^2)(x^2 + 5xy + 6y^2) + y^4[/TEX]
Đặt [TEX]x^2 + 5xy + 5y^2 = t[/TEX]
\RightarrowA = [TEX](t - y^2)(t + y^2) + y^4[/TEX]
[TEX]= t^2 - y^4 + y^4 = t^2[/TEX]
\Rightarrow (đpcm)

datnickgiday · 31 Tháng mười 2010

Chị girltoanpro1995 làm sai chỗ [TEX]4(a^2 + 2a + 4) - 12= [2(a+2)]^2 - 12[/TEX], với lại đề bài là tổng 2 bình phương chứ ko phải bình phương của 1 tổng.
Bài 3:
GỌi 2 số lẻ đó là 2a +1 và 2b + 1
Ta có:
[TEX](2a +1)^2 + (2b + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1[/TEX]
[TEX]= 4(a^2 + a + b^2 +b) + 2 = 4k + 2[/TEX]
Mà số chính phương thì ko có dạng 4k + 2
\Rightarrow đpcm

pemivip · 1 Tháng mười một 2010

trydan said:
Tính chất(cái này khi nào rảnh thì mình đánh nhaz! Giờ làm bài tập trước đã )

Bài 2: Cho
$gif.latex$
.
CMR:
$gif.latex$
là số chính phương

Làm bài 2 ké há:
[TEX]1.2.3+2.3.4+.....+k(k+1)(k+2)[/TEX]
[TEX]= \frac{1}{4}[(1.2.3.4-0.1.2.3)+(2.3.4.5-1.2.3.4)+.....+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)][/TEX]
[TEX]= \frac{1}{4}.k(k+1)(k+2)(k+3) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4S+1 = k(k+1)(k+2)(k+3) +1 = (k^2+3k)(k^2+3k+2) +1[/TEX]
Đặt [TEX] k^2+3k+1 = t \Rightarrow 4S+1 = (t-1)(t+1) + 1 = t^2 -1 + 1 = t^2[/TEX]
E làm đúng thì thank nhá

trydan · 1 Tháng mười một 2010

pemivip said:
Làm bài 2 ké há:
[TEX]1.2.3+2.3.4+.....+k(k+1)(k+2)[/TEX]
[TEX]= \frac{1}{4}[(1.2.3.4-0.1.2.3)+(2.3.4.5-1.2.3.4)+.....+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)][/TEX]
[TEX]= \frac{1}{4}.k(k+1)(k+2)(k+3) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4S+1 = k(k+1)(k+2)(k+3) +1 = (k^2+3k)(k^2+3k+2) +1[/TEX]
Đặt [TEX] k^2+3k+1 = t \Rightarrow 4S+1 = (t-1)(t+1) + 1 = t^2 -1 + 1 = t^2[/TEX]
E làm đúng thì thank nhá

$gif.latex$

Bài tiếp:
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính phương.

Bài 2: CMR số có dạng

$gif.latex$

với

$gif.latex$

không là số chính phương.

pemivip · 1 Tháng mười một 2010

trydan said:
$gif.latex$

Bài tiếp:
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính phương.

Bài 2: CMR số có dạng
$gif.latex$
với
$gif.latex$
không là số chính phương.
[/LIST]
[/FONT]

Chả ai thank e à, nhưng thôi e giải tiếp để giỏi lên:
Bài 1: Giả sử 5 số đó là n-2,n-1,n,n+1,n+2 (n\geq2)
\Rightarrow [TEX] S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2[/TEX]
[TEX]S = n^2 - 4n + 4 + n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4[/TEX]
[TEX]S = 5n^2 + 10[/TEX]
[TEX]S = 5(n^2+2)[/TEX] mà n^2 không có tận cùng là 3 hay 8
\Rightarrow [TEX]n^2 + 2 không chia hết cho 5 \Rightarrow S còn lâu mới là số chình phương Bài 2 : [TEX]S = n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2[/TEX]
[TEX]S = n^2(n^4 - n^2 + 2n + 2)[/TEX]
[TEX]S = n^2[(n^3 - n^2)(n+1) + 2(n+1)][/TEX]
[TEX]S = n^2(n+1)(n^3-n^2+2)[/TEX]
mà [TEX]n^3-n^2+2[/TEX] không có nghiệm là 0 or -1
\Rightarrow S còn lâu mới là số chình phương

p/s: mấy bài này quá dễ, e góp vài bài này, ai giải đc 1 bài thui e khuyến mãi 1 "thank" . Lưu ý mấy bài sau đòi hỏi phân tích khéo léo
Bài 1: Cm nếu a,b,c là các số tự nhiên thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 = c^2[/TEX] thì:
a) Ít nhất 1 trong 2 số a,b chia hết cho 3
b) Ít nhất 1 trong 2 số a,b chia hết cho 4
c) Ít nhất 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho 5
Bài 2: Đặt A = 444.....444(2n chữ số)
B = 222.....222(n+1 chữ số)
C = 888.....888(n chữ số)
CM: A + B + C + 7 là số chính phương
Bài 3:Cm nếu tổng các chữ số của 1 số chính phương mà không chia hết cho 9 thì không thể chia hết 6.
Bài 4: Tổng các chữ số của 1 số chính phương có thể bằng 5 hoặc 8 được không? Vì sao?
Bài 5: Tìm A gồm 4 chữ số biết rằng nếu thêm vào mỗi chữ số của A 1 đơn vị thì được số B cũng là số chính phương
Bài 6: Tìm p nguyên tố sao cho [TEX]1 + p + p^2 + p^3 + p^4[/TEX] là số chính phương
Bài 7: CM Nếu a là số tự nhiên sao cho 2a+1 và 3a+1 đều chính phương thì a phải là bội của 40.

sparda9999 · 2 Tháng mười một 2010

pemivip said:
Bài 5: Tìm A gồm 4 chữ số biết rằng nếu thêm vào mỗi chữ số của A 1 đơn vị thì được số B cũng là số chính phương

B cũng là số chính phương \RightarrowA là số chính phương
đặt [TEX]A=abcd=X^2[/TEX]
và [TEX]B=abcd+1111=Y^2[/TEX]

ta có : [TEX]A-B=X^2-Y^2=1111[/TEX]
\Rightarrow[TEX](X-Y)(X+Y)=1111[/TEX]
\Rightarrow[TEX]X=45;Y=56 [/TEX]
\Rightarrow[TEX]A=2025[/TEX]

ko bik đúg ko

nếu đúg thì thank liền nha bạn

)

pemivip · 2 Tháng mười một 2010

xem ra bài 5 dễ quá. Thui mấy bài còn lại các bạn giải quyết đi đã rùi thank sau

datnickgiday · 2 Tháng mười một 2010

Một vài tính chất cơ bản:

1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).

5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

sparda9999 · 2 Tháng mười một 2010

pemivip said:
xem ra bài 5 dễ quá. Thui mấy bài còn lại các bạn giải quyết đi đã rùi thank sau

j` vậy =.=!!
nói xong ko thanks ak` b-(
.....................................................................................

datnickgiday · 2 Tháng mười một 2010

pemivip said:
Bài 2: Đặt A = 444.....444(2n chữ số)
B = 222.....222(n+1 chữ số)
C = 888.....888(n chữ số)
CM: A + B + C + 7 là số chính phương

A + B + C + 7
= [TEX]\begin{matrix} \underbrace{44...44} \\ 2n \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{22...22} \\ n+1 \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{88...88} \\ n \end{matrix}[/TEX]

= [TEX]\begin{matrix} \underbrace{44...44} \\ n \end{matrix}.10^n +\begin{matrix} \underbrace{44...44} \\ n \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{22...22} \\ n \end{matrix} + 2.10^n + \begin{matrix} \underbrace{88...88} \\ n \end{matrix}[/TEX]

= [TEX]4.\frac{10^n - 1}{9}.10^n + 4.\frac{10^n - 1}{9} + 8.\frac{10^n - 1}{9} + 2.\frac{10^n - 1}{9} + 2.10^n +7 [/TEX]

= [TEX]\frac{4.10^{2n} - 4.10^n + 4.10^n - 4 + 8.10^n - 8 + 2.10^n - 2 + 18.10^n +63}{9}[/TEX]

=[TEX]\frac{4.10^{2n} + 28.10^n + 49}{9}[/TEX]

=[TEX](\frac{2.10^n + 7}{3})^2[/TEX]

=> A+B+C+7 là số chính phương

Phù, gõ latex mệt quá, nếu đúng thì thanks giùm nhen.

pemivip · 5 Tháng mười một 2010

pemivip said:
Bài 1: Cm nếu a,b,c là các số tự nhiên thoả mãn [TEX]a^2 + b^2 = c^2[/TEX] thì:
a) Ít nhất 1 trong 2 số a,b chia hết cho 3
b) Ít nhất 1 trong 2 số a,b chia hết cho 4
c) Ít nhất 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho 5

tui CM bài 1 nhé.Đây là 1 công thức rất hữu ích cho việc nhìn nhận về tính chất bộ số Pythagore, cũng giúp các bạn phát hiện nhanh 1 bộ số có phải là 3 cạnh của 1 hình vuông khôg.
1. a)Nếu a và b cùng không chia hết cho [TEX]3[/TEX] thì :
[TEX]a^2[/TEX] có dạng [TEX]3k_1+1[/TEX];[TEX] b^2 [/TEX]có dạng [TEX]3k_2+1 [/TEX](tự CM nhé)
[TEX]\Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 =3(k_1+k_2) +2 = 3m + 2[/TEX] (vô lí vì số CP không có dạng[TEX] 3m+2[/TEX])
b)Xét các TH:
-a và b cùng lẻ[TEX] \Rightarrow a^2 = 4k_3 + 3 ; b^2= 4k_4 + 3[/TEX] (tự CM)
[TEX]\Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 = 4(k_3 + k_4) + 6 = 4n + 2[/TEX] (vô lí vì số CP không có dạng [TEX]4n + b[/TEX])
- [TEX]a[/TEX] lẻ và[TEX] b[/TEX] chẵn [TEX]\Rightarrow b[/TEX] chia hết cho[TEX] 4[/TEX]
- [TEX]a [/TEX]chẵn và [TEX]b[/TEX] lẻ[TEX] \Rightarrow a[/TEX] chia hết cho [TEX]4[/TEX]
-[TEX] a[/TEX] chẵn và[TEX] b[/TEX] chẵn[TEX] \Rightarrow a và b cùng chia hết cho [TEX]4[/TEX]
c) ta có TC: số chính phương chia cho 5 dư 0,1 hoặc 4 (tự CM)
ta lần lượt thử các th[TEX] a[/TEX] và[TEX] b[/TEX] chia cho 5 dư 0,1,4 là ra ngay kết quả

Đây là 1 bài toán thú vị phải không? Các bạn cho ý kiến nhé và thank mình luôn nha.

conami · 14 Tháng mười một 2010

1.Có tồn tại hay không 2010 số nguyên dương a1 ;a2; ... a2010 sao cho
a1^2 + a2^2 ; a1^2 + a2^2 + a3^2; ... ; a1^2 + a2^2 + a3^2+...+a2010^2
đều là số chính phương
2.Chứng minh tổng bình phương của 1984 số nguyên liên tiếp không là số chính phương
3.(bài này dễ hơn chút) các số sau đây có phải là số chính phương không
a) A= 39365990
b)B=1234567891011121314151617181920212223
c)C=89679846

th1104 · 20 Tháng một 2011

sparda9999 said:
B cũng là số chính phương \RightarrowA là số chính phương
đặt [TEX]A=abcd=X^2[/TEX]
và [TEX]B=abcd+1111=Y^2[/TEX]

ta có : [TEX]A-B=X^2-Y^2=1111[/TEX]

sparda9999 said:
\Rightarrow [TEX](X-Y)(X+Y)=1111[/TEX]
\Rightarrow [TEX]X=45;Y=56 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]A=2025[/TEX]

ko bik đúg ko nếu đúg thì thank liền nha bạn )

sai đây này

A-B = bao nhiu cơ á ????

hell_angel_1997 · 21 Tháng một 2011

pemivip said:
Bài 6: Tìm p nguyên tố sao cho [TEX]1 + p + p^2 + p^3 + p^4[/TEX] là số chính phương

[TEX]1 + p + p^2 + p^3 + p^4=n^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4 +4 p + 4p^2 + 4p^3 + 4p^4=4n^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (2n)^2=(2p^2+p+1)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow p^2-2p-3=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow p=3[/TEX]:|

conami said:
3.(bài này dễ hơn chút) các số sau đây có phải là số chính phương không

a) A= 39365990

b)B=1234567891011121314151617181920212223

c)C=89679846

a, chia hết cho 2 nhưng ko chia hết cho 4

b, tận cùng=3

c, chia hết cho 3 nhưng ko chia hết cho 9

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Một số bài toán về số chính phương

trydan

quan8d

trydan

girltoanpro1995

trydan

girltoanpro1995

datnickgiday

datnickgiday

pemivip

trydan

pemivip

sparda9999

pemivip

datnickgiday

sparda9999

datnickgiday

pemivip

conami

th1104

hell_angel_1997