Một số bài toán về số chính phương cho hsg giỏi

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. C/m rằng $n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 \vdots 9$ với \forall $x\in Z$
2. Tìm $n\in N$ sao cho $n^2 + 1234$ là số chính phương
3. C/m rằng các tổng sau là số chính phương:
a) $M= \underset{2n số 1}{\underbrace{11....1}} + \underset{n số 4}{\underbrace{44.....4}} + 1$
b) $N= \underset{2n số 1}{\underbrace{11....1}} + \underset{n+1số 1}{\underbrace{11....1}} + \underset{n số 6}{\underbrace{66....6}} + 8$

 

[soccan]

$3a) M= \underset{2n }{\underbrace{11....1}} + \underset{n }{\underbrace{44.....4}} + 1$
Đặt $\underset{n}{\underbrace{11...1}}$ là $t$ thì $9t+1=10^n$
$M=t.10^n+t+4t+1=t(9t+1)+5t+1=(3t+1)^2=\underset{n-1}{\underbrace{33...3}}4^2$

$b$ làm tương tự =))

 

[soccan]

Bài 2
Giả sử có số tự nhiên $m^2$ sao cho $n^2+1234=m^2$
$\longrightarrow m^2-n^2=1234$
mà hiệu 2 số chính phương chia $4$ dư $0;1;3$, trong khi đó $1234$ chia 4 có số dư là $2$
$ \longrightarrow$ Không có $n\in N$ thỏa mãn $n^2+1234$ là số chính phương

 

[thaolovely1412]

Bài 1
Ta có: [TEX]x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) + 3xyz [/TEX]
Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:
[TEX]n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 [/TEX]
[TEX]= (n + n + 1 + n + 2)[ n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 -n(n + 1) - (n + 1)(n + 2) - n(n + 2)] - 3n(n + 1)(n + 2) [/TEX]
[TEX]= (3n + 3)(n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 - n^2 - n - n^2 - 3n - 2 - n^2 - 2n) - 3n(n + 1)(n + 2) [/TEX]
[TEX]= 9(n + 1) - 3n(n + 1)(n + 2) [/TEX]
Vì [TEX]n(n + 1)(n + 2)[/TEX] là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết 6
[TEX]\Rightarrow 3n(n + 1)(n + 2) [/TEX]chia hết 3.6 = 18 chia hết 9
\Rightarrow [TEX]9(n + 1) - 3n(n + 1)(n + 2)[/TEX] chia hết 9
\Rightarrow n[TEX]^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3[/TEX] chia hết cho 9

 

[0973573959thuy]

Đặt $n^2 + 1234 = m^2 (m \in N)$

$\leftrightarrow 1234 = m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Ta thấy (m - n) + (m + n) = 2m là số chẵn nên m - n và m + n cùng tính chẵn lẻ. Mà chúng có tích là số chẵn nên m - n và m + n cùng là số chẵn.

$\rightarrow (m - n)(m + n) \vdots 4$. Mà 1234 không chia hết cho 4

Vậy k có n để $n^2 + 1234$ là số chính phương