Một số bài toán khó về số chính phương

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho $n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n + 7$ là số chính phương
2.Tìm $n\in Z$ sao cho $n+1945$ và $n+2004$ đều là số chính phương?
3. Tìm số chính phương lớn nhất, có 2 chữ số cuối khác 0 sao cho khi xóa 2 chữ số cuối ta nhận được một số chính phương.
4. Tìm $n\in N$ sao cho $2^8 + 2^11 + 2^n$ là số chính phương

 

[thaolovely1412]

Bài 1
[TEX]A= n^4+2n^3+2n^2+n+7 [/TEX]
+Ta thấy n= 1 không thỏa mãn
+Thay n=2 thỏa mãn
+ xét n>2
[TEX]\Rightarrow - 4n^3 - 3n < 6 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^4- 4n^3+2n^2-3n+1 < n^4 +2n^2 +7 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (n^2 +n -1)^2 < A [/TEX]
Từ n>2 [TEX]\Rightarrow 2n^3 + 2n > 6 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow A < (n^2 +n +1)^2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (n^2 +n-1)^2 <A < (n^2 +n+1)^2 [/TEX]
A chính phương [TEX]\Rightarrow A= (n^2 +n)^2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7 = n^4 + 2n^3 +n^2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^2 +n +7 =0 [/TEX]
\Rightarrow không có nghiệm tự nhiên n thỏa mãn
vậy n=2 là nghiệm duy nhất

 

[thaolovely1412]

Bài 3
Gọi số phải tìm là [TEX]a^2[/TEX]. Sau khi xóa 2 chữ số cuối ta được [TEX]b^2[/TEX].
\Rightarrow [TEX]a^2 = 100b^2 + D[/TEX] ( D là số có 2 chữ số)
\Leftrightarrow [TEX]a^2 - 100b^2 = D [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a-10b)(a+10b) = D [/TEX]
Ta thấy: a^2 phải có ít nhất 3 chữ số; [TEX]a-10b>0; a+10b <100 [/TEX]
\Rightarrow b chỉ có thể bằng 1,2,3,4
+)TH1: b=4
[TEX]\Rightarrow 40<a<60 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1600<a^2<3600 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=1681=41^2[/TEX] thỏa mãn
+)TH2: b=3
[TEX]\Rightarrow 30<a<70 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 900<a^2<4900 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=31^2 = 961[/TEX] thỏa mãn
+) TH3: b=2
(đương nhiên ra a là số có 3 chữ số)
Nên: Số lớn nhất cần tìm là 1681

 

[thaolovely1412]

Bài 4
Giả sử [TEX]2^8 + 2^{11} + 2^n = a^2 (a \in
N) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^n = a^2 - 48^2 = (a+48)(a-48)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^p.2^q = (a+48)(a-48)[/TEX] Với [TEX]p, q \in
N ; p+q = n[/TEX] và [TEX]p > q[/TEX]

\Rightarrow [TEX]\left{\begin{a+48=2^p}\\{a-48=2^q} [/TEX] [TEX]\Rightarrow 2^p - 2^q = 96\Rightarrow
2q (2^{p-q} -1) = 2^5.3 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]\left{\begin{q=5}\\{p-q=2} [/TEX] [TEX]\Rightarrow p=7[/TEX]
[TEX]\Rightarrow
n = 5+7 = 12[/TEX]