Toán 9 Một số bài toán cho hsg lớp 9

[thuyle16880@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình có một số bài toán về số nguyên tố, số chính phương nhưng không biết cách làm. Ai biết cách làm thì giúp mình với. Mình cảm ơn.
Bài 18: Tìm các số nguyên dương [imath]x;y;z[/imath] sao cho: [imath]x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2x(z - 1) + 2y(z+1)[/imath] là số chính phương
Bài 19. Tìm các số nguyên dương [imath]x, y[/imath] sao cho [imath]x^2+3y[/imath] và [imath]y^2+3x[/imath] là số chính phương.
Bài 20. Tìm tất cả các số nguyên [imath]m[/imath] sao cho [imath]m^4 +m^3+1[/imath] là một số chính phương.
Bài 21. Chứng minh rằng: Nếu [imath]\overline{abc}[/imath] là số nguyên tố thì [imath]b^2 - 4ac[/imath] không phải là số chính phương.
Bài 22. Tìm các số nguyên tố [imath]x, y[/imath] sao cho: [imath]x^2+3xy+ y^2[/imath] là số chính phương.
Bài 23. Cho 2 số tự nhiên [imath]y >x[/imath] thỏa mãn . [imath](2y-1)^2=(2y-x)(6y+x)[/imath]. Chứng minh: [imath]2y- x[/imath] là số chính phương.

 

[chi254]

Mình có một số bài toán về số nguyên tố, số chính phương nhưng không biết cách làm. Ai biết cách làm thì giúp mình với. Mình cảm ơn.View attachment 218460

thuyle16880@gmail.com
Bài 22:
Giả sử: [imath]x ; y \ \not \vdots \ 3 \to x^2 ; y^2[/imath] chia 3 đều dư 1
Lại có: [imath]3xy \ \vdots \ 3 \to x^2 + 3xy + y^2[/imath]chia 3 dư 2. Suy ra [imath]x^2 +3xy + y^2[/imath] không là số chính phương
Xét [imath]x = 3[/imath]:
Khi đó: [imath]x^2 + 3xy + y^2 = y^2 + 9y + 9 = k^2[/imath]
[imath]\iff 4y^2 + 36y + 36 = 4k^2 \iff (2y + 9)^2 - 4k^2 = 45 \iff (2y + 9 -2k)(2y+9 +2k) = 45 = 9.5 = 15.3 = 45.1[/imath]
Giải từng TH tìm [imath]y;k[/imath] nha em
Kết quả sẽ là hoán vị của các bộ [imath](x;y)[/imath] trong TH [imath]x = 3[/imath] ( Vì tương tự ta cũng cần xét [imath]y =3[/imath])

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo thêm kiến thức tại
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[chi254]

Mình có một số bài toán về số nguyên tố, số chính phương nhưng không biết cách làm. Ai biết cách làm thì giúp mình với. Mình cảm ơn.
Bài 18: Tìm các số nguyên dương [imath]x;y;z[/imath] sao cho: [imath]x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2x(z - 1) + 2y(z+1)[/imath] là số chính phương
Bài 19. Tìm các số nguyên dương [imath]x, y[/imath] sao cho [imath]x^2+3y[/imath] và [imath]y^2+3x[/imath] là số chính phương.
Bài 20. Tìm tất cả các số nguyên [imath]m[/imath] sao cho [imath]m^4 +m^3+1[/imath] là một số chính phương.
Bài 21. Chứng minh rằng: Nếu [imath]\overline{abc}[/imath] là số nguyên tố thì [imath]b^2 - 4ac[/imath] không phải là số chính phương.
Bài 22. Tìm các số nguyên tố [imath]x, y[/imath] sao cho: [imath]x^2+3xy+ y^2[/imath] là số chính phương.
Bài 23. Cho 2 số tự nhiên [imath]y >x[/imath] thỏa mãn . [imath](2y-1)^2=(2y-x)(6y+x)[/imath]. Chứng minh: [imath]2y- x[/imath] là số chính phương.

thuyle16880@gmail.com

Bài 19: Em tham khảo tại đây
Bài 20: Giả sử: [imath]m^4 + m^3 + 1 = n^2[/imath]

TH1: Xét [imath]-2 \le m \le 2[/imath]. Thử các giá trị

TH2: Khi [imath]m > 2[/imath]:

Xét [imath]m = 2k + 1[/imath]
Chứng minh: [imath]\left (m^2 + \dfrac{1}{2}m - \dfrac{1}{2} \right)^2 < n^2 < \left (m^2 + \dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2} \right)^2[/imath]
[imath]n^2[/imath] nằm giữa 2 số CP liên tiếp nên không là số chính phương

Xét [imath]m = 2k -1[/imath] C.M: [imath]\left (m^2 + \dfrac{1}{2}m - 1 \right)^2 < n^2 < \left (m^2 + \dfrac{1}{2}m \right)^2[/imath]

TH3: Khi [imath]m < 2[/imath]. Tương tự TH2

Vậy ...