Thử viết bài
Khi ta làm toán về tích phân . Ắt các bạn đã từng tính những con tích phân cơ bản sau đây:
Ví dụ 1
[TEX] I_1 = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)^x }}{{x + 1 + \sqrt {x^2 + 1} }}dx}[/TEX]
Ví dụ 2
[TEX] I_2 = \int_0^1 {\sqrt[3]{{2x^3 - 3x^2 - x + 1}}} dx[/TEX]
Ví dụ 3
[TEX] I_3 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - \sqrt[3]{{c{\rm{osx}}}}} \right)dx}[/TEX]
Ví dụ 4
[TEX] I_4 = \int_{ - 1}^1 {\frac{{x^2 }}{{2^x + 1}}} dx[/TEX]
Ví dụ 5
[TEX] I_5 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^6 x}}{{\sin ^6 x + c{\rm{os}}^{\rm{6}} x}}dx} [/TEX]
Ví dụ 6
[TEX] {\rm{I}}_{\rm{6}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + ta{\rm{nx}}} \right)} dx[/TEX]
Ví dụ 7
[TEX] I_7 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\left( {{\rm{sinx + cosx}}} \right)^3 }}dx} [/TEX]
Ví dụ 8
[TEX] I_8 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{\rm{sin}}^{\rm{3}} x + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}}dx} [/TEX]
Ví dụ 9
[TEX] I_9 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \frac{{1 + {\rm{sin}}^{\rm{3}} x}}{{1 + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}}dx} [/TEX]
Vấn đề dặt ra : Tích phân tổng quát của các tích phân trên là ?
Ta nhận thấy các tích phân trên đều có 1 dạng chung đó là :
[TEX]\int_a^b {f\left( x \right)dx}[/TEX]
trong đó f(x)+ f(a+b-x) = g(x) và g(x) là hàm số tính được tích phân
Vậy cách giải quyết là gì ?
Ta đều giải được bằng phép đổi biến số với phép đặt x= a+b-t
Khi đó
Ví dụ 1
[TEX] I_1 = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)^x }}{{x + 1 + \sqrt {x^2 + 1} }}dx} [/TEX]
Ta có : [TEX] f\left( x \right) + f\left( { - 1 + 1 - x} \right) = x\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)[/TEX]
Nên [TEX] I_1 = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)^x }}{{x + 1 + \sqrt {x^2 + 1} }}dx} = \frac{1}{2}\int_{ - 1}^1 {x\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right)dx = ?}[/TEX]
Ví dụ 2
[TEX]I_2 = \int_0^1 {\sqrt[3]{{2x^3 - 3x^2 - x + 1}}} dx[/TEX]
Ta có :[TEX]f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 0[/TEX]
Nên [TEX]I_2 = \int_0^1 {\sqrt[3]{{2x^3 - 3x^2 - 1}}} dx = 0[/TEX]
Ví dụ 3
[TEX]I_3 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - \sqrt[3]{{c{\rm{osx}}}}} \right)dx}[/TEX]
Ta có : [TEX]f\left( x \right) + f\left( {0 + \pi - x} \right) = 0[/TEX]
Nên [TEX]I_3 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} - \sqrt[3]{{c{\rm{osx}}}}} \right)dx} = 0[/TEX]
Ví dụ 4
[TEX]I_4 = \int_{ - 1}^1 {\frac{{x^2 }}{{2^x + 1}}} dx[/TEX]
Ta có : [TEX]f\left( x \right) + f\left( { - 1 + 1 - x} \right) = x^2 [/TEX]
Nên [TEX]I_4 = \int_{ - 1}^1 {\frac{{x^2 }}{{2^x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int_{ - 1}^1 {x^2 dx}[/TEX]
Ví dụ 5
[TEX]I_5 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^6 x}}{{\sin ^6 x + c{\rm{os}}^{\rm{6}} x}}dx}[/TEX]
Ta có : [TEX]f\left( x \right) + f\left( {0 + \frac{\pi }{2} - x} \right) = 1[/TEX]
Nên [TEX]I_5 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^6 x}}{{\sin ^6 x + c{\rm{os}}^{\rm{6}} x}}dx} = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {1dx} = \frac{\pi }{4}[/TEX]
Ví dụ 6
[TEX]{\rm{I}}_{\rm{6}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + ta{\rm{nx}}} \right)} dx[/TEX]
Ta có : [TEX]f\left( x \right) + f\left( {0 + \frac{\pi }{4} - x} \right) = \ln \left( {1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}} \right) + \ln \left( {1 + \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}}{{{\rm{1 + tanx}}}}} \right) = \ln 2[/TEX]
Nên [TEX]{\rm{I}}_{\rm{6}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}} \right)} dx = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln 2} dx[/TEX]
Ví dụ 7
[TEX]I_7 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\left( {{\rm{sinx + cosx}}} \right)^3 }}dx}[/TEX]
Ta có : [TEX]f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{1}{{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}} \right)^2 }} = \frac{1}{2}\frac{1}{{\sin ^2 \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}[/TEX]
Nên [TEX]I_7 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\left( {{\rm{sinx + cosx}}} \right)^3 }}dx} = \frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{\sin ^2 \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx}[/TEX]
Ví dụ 8
[TEX]I_8 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{\rm{sin}}^{\rm{3}} x + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}}dx}[/TEX]
Ta có : [TEX]f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{1}{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx}}}}[/TEX]
Nên [TEX]I_8 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{\rm{sin}}^{\rm{3}} x + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}}dx} = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx}}}}dx}[/TEX]
Ví dụ9
[TEX]I_9 = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \frac{{1 + {\rm{sin}}^{\rm{3}} x}}{{1 + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}}dx}[/TEX]
Ta có :[TEX]f\left( x \right) + f\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \ln \frac{{1 + {\rm{sin}}^{\rm{3}} x}}{{1 + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}} + \ln \frac{{1 + c{\rm{os}}^{\rm{3}} x}}{{1 + {\rm{sin}}^{\rm{3}} x}} = 0[/TEX]
Nên [TEX]{\rm{I}}_{\rm{9}} = 0[/TEX]
Bởi vậy :
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
