Toán 8 một bất đẳng thức quen thuộc

[Hoàng Vũ Nghị]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =3 .CMR
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/tex]
Mình cần nhiều cách khác nhau ..vì vậy đừng thấy người khác đã trả lời mà lặng lẽ giấu bài của mình mà ra đi nhá

 

[mỳ gói]

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =3 .CMR
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/tex]
Mình cần nhiều cách khác nhau ..vì vậy đừng thấy người khác đã trả lời mà lặng lẽ giấu bài của mình mà ra đi nhá

Bđt yêu thích của t .... chebysev...
Ko biết có ai xài cách này chưa !
Chỗ đó là bằng 0 ...viết nhầm
# Nghị : e thấy bài này gần chục cách là ít

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =3 .CMR
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/tex]
Mình cần nhiều cách khác nhau ..vì vậy đừng thấy người khác đã trả lời mà lặng lẽ giấu bài của mình mà ra đi nhá

Bài này dùng cô si 3 số đc ko anh ?
Em nghĩ là có vì a=b=c=1 có vẻ hợp lí

Bđt yêu thích của t .... chebysev...
Ko biết có ai xài cách này chưa !View attachment 120213
Chỗ đó là bằng 0 ...viết nhầm
# Nghị : e thấy bài này gần chục cách là ít

Dấu = xảy ra khi nào ạ?

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Bài này dùng cô si 3 số đc ko anh ?
Em nghĩ là có vì a=b=c=1 có vẻ hợp lí


Dấu = xảy ra khi nào ạ?

Khi a=b=c=1

Cách 2 :
[tex]dpcm \Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2}+\sum 2ab\geq 9[/tex]
[tex]VT\geq \sum \frac{1}{ab}+\sum 2ab\\=\frac{3}{abc}+\sum ab+\sum ab\\\geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{abc}(\sum ab)^2}\\\geq 3\sqrt[3]{\frac{3}{abc}.3abc(a+b+c)}=9[/tex]
Cách 3 :Gợi ý :Xét khoảng

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cách 3 : TH1 : nếu tồn tại 1 trong 3 số a,b,c thuộc nửa khoảng [tex](0;\frac{1}{3}][/tex] ta có [tex]\sum \frac{1}{a^2}\geq 9=(a+b+c)^2>\sum a^2[/tex]
TH2 : [tex]a>\frac{1}{3},b>\frac{1}{3},c>\frac{1}{3}[/tex]
Ta có : [tex]a+b+c=3>a+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\\Rightarrow a< \frac{7}{3}[/tex]
cmtt [tex]b<\frac{7}{3},c<\frac{7}{3}[/tex]
Ta đi chứng minh
[tex]\frac{1}{x^2}-x^2\geq -4x+4\forall x\epsilon (\frac{1}{3};\frac{7}{3})[/tex]
cm bằng cách tương đương
Suy ra
[tex]\sum \frac{1}{x^2}-\sum a^2\geq -4\sum a+12=0[/tex]
Suy ra đpcm
Cách 4 :đánh giá trung gian

 

[mỳ gói]

Cách 3 : TH1 : nếu tồn tại 1 trong 3 số a,b,c thuộc nửa khoảng [tex](0;\frac{1}{3}][/tex] ta có [tex]\sum \frac{1}{a^2}\geq 9=(a+b+c)^2>\sum a^2[/tex]
TH2 : [tex]a>\frac{1}{3},b>\frac{1}{3},c>\frac{1}{3}[/tex]
Ta có : [tex]a+b+c=3>a+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\\Rightarrow a< \frac{7}{3}[/tex]
cmtt [tex]b<\frac{7}{3},c<\frac{7}{3}[/tex]
Ta đi chứng minh
[tex]\frac{1}{x^2}-x^2\geq -4x+4\forall x\epsilon (\frac{1}{3};\frac{7}{3})[/tex]
cm bằng cách tương đương
Suy ra
[tex]\sum \frac{1}{x^2}-\sum a^2\geq -4\sum a+12=0[/tex]
Suy ra đpcm
Cách 4 :đánh giá trung gian

Cách 3 hơi sai sai đấy !!!!

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cách 3 hơi sai sai đấy !!!!

chỗ nào vậy ạ

 

[mỳ gói]

chỗ nào vậy ạ

Thứ nhất rõ ràng xét trường hợp như vậy là cực kì vô lí bởi vì
Theo nguyên lí cực hạn thì tồn tại 1 số bé hơn hoặc bằng 1 và tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng 1.
Thứ 2 cái trường hợp 1 là tồn tại 1 trong 3 thì tại sao ép đc >=9

 

[The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫]

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =3 .CMR
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2[/tex]
Mình cần nhiều cách khác nhau ..vì vậy đừng thấy người khác đã trả lời mà lặng lẽ giấu bài của mình mà ra đi nhá

[tex]\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum \frac{1}{ab}=\frac{\sum a}{abc}=\frac{(\sum a)^2}{abc.\sum a}\geq \frac{(\sum a)^2}{\frac{(\sum ab)^2}{3}}=\frac{3.(\sum a)^2}{(\sum ab)^2}\\(\sum a)^2=\sum a^2+\sum ab+\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(\sum a^2).(\sum ab)^2}\\\rightarrow (\sum a)^6\geq 27(\sum a^2)(\sum ab)^2\\\rightarrow \frac{(\sum a)^6}{27}\geq (\sum a^2)(\sum ab)^2\\\rightarrow \frac{(\sum a)^6}{(\sum a)^3}\geq (\sum a^2)(\sum ab)^2\\\rightarrow (\sum a)^3\geq (\sum a^2)(\sum ab)^2\\\rightarrow \frac{3.(\sum a)^2}{(\sum ab)^2}=\frac{(\sum a)^3}{(\sum ab)^2}\geq \frac{(\sum a^2)(\sum ab)^2}{(\sum ab)^2}\geq \sum a^2(dpcm)[/tex]

Nát óc dc 1 cách :V

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Thứ nhất rõ ràng xét trường hợp như vậy là cực kì vô lí bởi vì
Theo nguyên lí cực hạn thì tồn tại 1 số bé hơn hoặc bằng 1 và tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng 1.
Thứ 2 cái trường hợp 1 là tồn tại 1 trong 3 thì tại sao ép đc >=9

THì giả sử [tex]a\leq \frac{1}{3}\\\Rightarrow a^{2}\leq \frac{1}{9}\\\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geq 9[/tex]
Còn cái nguyên lí cực hạn mà chị nói e chưa hiểu