một bài bất đẳng thức

[valdes]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 + abc [TEX]\geq[/TEX] 4

 

[ngomaithuy93]

cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 + abc [TEX]\geq[/TEX] 4

[TEX]a^2+b^2+c^2+abc \geq 4 \Leftrightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+1 \geq \frac{4}{abc}[/TEX]
[TEX] \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{abc} \geq 4[/TEX]
[TEX]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow 3 \geq 3\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow abc \leq 1[/TEX]
[TEX]dpcm \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{abc}-\frac{4}{abc} \geq 0[/TEX]
[TEX]f(t)=\frac{3}{t}+t-\frac{4}{t^3}[/TEX]
\Rightarrow f(t) \geq f(1)=0 \forallt\leq1
\Rightarrow dpcm.

 

[keropik]

[TEX]a^2+b^2+c^2+abc =\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+1[/TEX]

Chỗ này chia cho abc hả bạn? Nếu là dấu đẳng thức có nghĩa là abc=1 à? Giải thích rõ giùm tý
t sửa bài rồi!

 

[minhkhac_94]

cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + abc \geq[/TEX] 4

Cách 1)Dùng phản chứng chứng minh ngược lại nếu [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + abc= 4[/TEX] thì [TEX]a+b+c \le 3[/TEX]
C1) Đặt [TEX]a=2sinA,....[/TEX]
C2)Tính [TEX]a=\frac{-bc+\sqrt{(b^2-4)(c^2-4)}}{2}[/TEX] và dùng AM-GM
Cách 2) Dùng Look at end the point

BĐT viết lại :
[TEX]{a^2} + {(b + c)^2} - 2bc + abc - 4 \ge 0\\[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow f(bc) = bc(a - 2) + 2{a^2} - 6a + 5 \ge 0,0 \le bc \le {(\frac{{3 - a}}{2})^2}\\[/TEX]
[TEX]f(0) = 2{a^2} - 6a + 5 > 0\\[/TEX]
[TEX]f{\rm{[}}{(\frac{{3 - a}}{2})^2}{\rm{]}} = {(\frac{{3 - a}}{2})^2}(a - 2) + 2{a^2} - 6a + 5 \ge 0\\[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(bc) \ge 0,\forall 0 \le bc \le {(\frac{{3 - a}}{2})^2}[/TEX]