Mong mọi người giúp đỡ về bất đẳng thức này

M

minhlaai29

CM bài này thì cũng dễ dàng thôi, vì [TEX]a,b,c > 0[/TEX]nến ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM
Ta có: [TEX]2(1 + \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} \leq 2(1+ \frac{a + b + c}{\frac{a + b + c}{3}} = 2( 1 + 3) = 8[/TEX] [TEX](*)[/TEX]
[TEX]1 + \frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}}[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
[TEX]1 + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{c}}[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
[TEX]1 + \frac{c}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{c}{a}}[/TEX] [TEX](3)[/TEX]
[TEX](1)(2)(3) \Rightarrow (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a}) \geq 8[/TEX] [TEX](**)[/TEX]
[TEX](*)(**) \Rightarrow [/TEX] đpcm
Dấu [TEX]"="[/TEX] xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a = b = c[/TEX]
Chúc vui!!!
 
B

bboy114crew

minhlaai29 said:
CM bài này thì cũng dễ dàng thôi, vì [TEX]a,b,c > 0[/TEX]nến ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM
Ta có: [TEX]2(1 + \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} \leq 2(1+ \frac{a + b + c}{\frac{a + b + c}{3}} = 2( 1 + 3) = 8[/TEX] [TEX](*)[/TEX]
[TEX]1 + \frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}}[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
[TEX]1 + \frac{b}{c} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{c}}[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
[TEX]1 + \frac{c}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{c}{a}}[/TEX] [TEX](3)[/TEX]
[TEX](1)(2)(3) \Rightarrow (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a}) \geq 8[/TEX] [TEX](**)[/TEX]
[TEX](*)(**) \Rightarrow [/TEX] đpcm
Dấu [TEX]"="[/TEX] xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a = b = c[/TEX]
Chúc vui!!!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Lời giải trên bị sai ai vào xác nhận xai giùm mình cái!
Đêm rồi lẫn quá!
Mình làm lại lời giải đúng đây!
Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh:
$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}\geq2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$
Ta có BDT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{a}{b}+ \sum \frac{b}{a} \geq 2\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Theo AM-GM ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$
Làm tương tự rồi cộng lại ta được ĐPCM!
 
A

akaiitaki2012

bboy114crew said:
Lời giải trên bị sai ai vào xác nhận xai giùm mình cái!
Đêm rồi lẫn quá!
Mình làm lại lời giải đúng đây!
Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh:
$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}\geq2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$
Ta có BDT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{a}{b}+ \sum \frac{b}{a} \geq 2\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Theo AM-GM ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$
Làm tương tự rồi cộng lại ta được ĐPCM!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bạn ơi cho mình hỏi \sum \frac{a}{b}+ \sum \frac{b}{a} là j vậy ? Mình thấy 1 số topic về bất đẳng thức trong diễn đàn như "[Toán 9] Bất đẳng thức" của bạn hay "[Toán 9] Sáng tạo bất đẳng thức" của bosjeunhan đều sử dụng kí hiệu này. Lên mạng kiếm thì theo như mình hiểu kí hiệu đấy là tổng hay sao đó. Chắc hôm nào phải học kĩ hơn đã:)
 
M

minhlaai29

ối dời ới sai mất tiêu òi, đêm hôm chi lạ ri biết, mấy bạn đừng chém mình nhá híc híc
:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom