Hướng dẫn:
$\Delta$ ABC vuông tại C \Rightarrow $ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = a\sqrt{3}.$
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}.$
Trong mp (ABC), dựng CD vuông góc AB tại D.
Ta dễ dàng chứng minh được $CD \perp (SAB).$
Vậy $\Delta$ SBD là hình chiếu vuông góc của $\Delta$ SBC lên mp(SAB).
\Rightarrow $S_{SBD} = S_{SBC}.cos60^o$ (*)
Ta có:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}CD.AB = a.CD = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$ \Rightarrow $CD = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$\Delta$ CBD vuông tại D \Rightarrow $BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \dfrac{3a}{2}.$
$S_{SBD}= \dfrac{1}{2}SA.BD = \dfrac{3a}{4}SA.$
$\Delta$ SBC vuông tại C (dễ chứng minh)
$S_{SBC} = \dfrac{1}{2}SC.BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt{SA^2 + AC^2}.BC = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\sqrt{SA^2 + a^2}$
Thay các giá trị diện tích vào (*) ta được:
$\dfrac{3a}{4}SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}\sqrt{SA^2 + a^2} $
\Rightarrow $SA = \dfrac{a}{\sqrt{2}}.$
Vậy: $V_{SABC} = \dfrac{1}{3}.SA.S_{ABC} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}.$