Câu 1 : Tính
$$ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x+\sin x}{\cos ^2 x} dx $$
Dùng tích phân từng phần , đặt
$$ \begin{cases}
u=x + \sin x \\
dv = \frac{dx}{\cos ^2 x}
\end{cases} $$
Suy ra
$$ \begin{cases}
du = (1+\cos x) dx \\
v = \tan x
\end{cases} $$
Lúc đó
$$ I= \left.\begin{matrix} \left( x.\tan x + \sin x . \tan x \right)
\end{matrix}\right\|_{0}^{\frac{\pi}{3}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x . (1+\cos x) dx $$
$$ = \frac{\pi}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2} -\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x dx -\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx $$
$$ = \frac{\pi}{\sqrt{3}}+1 -\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x dx $$
Đặt
$$ I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x dx $$
Đặt
$$t=\cos x $$
Vậy
$$ I_1= \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{-dt}{t} =\ln 2 $$
Tổng kết lại thì
$$ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x+\sin x}{\cos ^2 x} dx= \frac{\pi}{\sqrt{3}}+1-\ln 2 $$
Câu 2 : Tính
$$ J=\int_{\ln 3}^{\ln 5} \frac{dx}{e^x+2e^{-x}-3} $$
Đặt
$$ t=e^x $$
Suy ra
$$ dt=tdx $$
Lúc đó
$$ J=\int_{3}^{5} \frac{dt}{t^2-3t+2} $$
Chú ý là
$$ \frac{1}{t^2-3t+2}=\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t-1}$$
Vậy
$$ J=\int_{\ln 3}^{\ln 5} \frac{dx}{e^x+2e^{-x}-3}= \ln (\frac{3}{2}) $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
