Toán 11 mọi người giúp em với ạ huhu em k hiủ

[anngoc123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm GTLN và GTNN của (sin(x))^4+((cosx))^4

 

[anhvh0809]

Bạn tham khảo nhé
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

• Coi x1 = sin^2(x), x2 = cos^2(x).
• Ta có:
  • (x1 + x2)^2 = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 = 1
  • x1*x2 = sin^2(x)*cos^2(x) = (sin(x)*cos(x))^2
• Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
  • (sin^4(x) + cos^4(x)) * (1/sin^4(x) + 1/cos^4(x)) ≥ (sin^2(x) + cos^2(x))^2 = 1
  • y * (1/y) ≥ 1
  • y ≥ 1

2. Đẳng thức xảy ra khi nào?

• Đẳng thức xảy ra khi sin^2(x) = cos^2(x) <=> x = π/4 + kπ (k ϵ Z).
• Vậy GTLN của y là 1.

3. Tìm GTNN của y:

• Ta có:
  • y - 1 = (sin^4(x) + cos^4(x)) - 1
  • = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)
  • = (sin(x) + cos(x))^2 * (sin(x) - cos(x))^2
• Vì sin(x) + cos(x) và sin(x) - cos(x) đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 1 nên:
  • (sin(x) + cos(x))^2 * (sin(x) - cos(x))^2 ≤ 1
  • y - 1 ≤ 0
  • y ≤ 1

4. Kết luận:

• GTLN của y là 1, đạt được khi x = π/4 + kπ (k ϵ Z).
• GTNN của y là 1, đạt được khi x = kπ/2 (k ϵ Z).

Lưu ý:

• Cách giải này sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và một số kiến thức lượng giác cơ bản.
• Có thể sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán này, ví dụ như biến đổi lượng giác hoặc đạo hàm.

Ngoài ra:

• Cần lưu ý rằng hàm số y = (sin(x))^4 + (cos(x))^4 là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
• Do đó, GTLN và GTNN của y lặp lại với chu kỳ 2π.