Toán 11 mọi người giúp em với ạ huhu em k hiủ

anhvh0809

Học sinh mới
10 Tháng sáu 2024
7
1
6
Hà Nội
Bạn tham khảo nhé
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
  • Coi x1 = sin^2(x), x2 = cos^2(x).
  • Ta có:
    • (x1 + x2)^2 = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 = 1
    • x1*x2 = sin^2(x)*cos^2(x) = (sin(x)*cos(x))^2
  • Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
    • (sin^4(x) + cos^4(x)) * (1/sin^4(x) + 1/cos^4(x)) ≥ (sin^2(x) + cos^2(x))^2 = 1
    • y * (1/y) ≥ 1
    • y ≥ 1
2. Đẳng thức xảy ra khi nào?
  • Đẳng thức xảy ra khi sin^2(x) = cos^2(x) <=> x = π/4 + kπ (k ϵ Z).
  • Vậy GTLN của y là 1.
3. Tìm GTNN của y:
  • Ta có:
    • y - 1 = (sin^4(x) + cos^4(x)) - 1
    • = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x)
    • = (sin(x) + cos(x))^2 * (sin(x) - cos(x))^2
  • Vì sin(x) + cos(x) và sin(x) - cos(x) đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 1 nên:
    • (sin(x) + cos(x))^2 * (sin(x) - cos(x))^2 ≤ 1
    • y - 1 ≤ 0
    • y ≤ 1
4. Kết luận:
  • GTLN của y là 1, đạt được khi x = π/4 + kπ (k ϵ Z).
  • GTNN của y là 1, đạt được khi x = kπ/2 (k ϵ Z).
Lưu ý:
  • Cách giải này sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và một số kiến thức lượng giác cơ bản.
  • Có thể sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán này, ví dụ như biến đổi lượng giác hoặc đạo hàm.
Ngoài ra:
  • Cần lưu ý rằng hàm số y = (sin(x))^4 + (cos(x))^4 là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.
  • Do đó, GTLN và GTNN của y lặp lại với chu kỳ 2π.
 
Top Bottom