Ta sẽ đi tìm [imath]\min, \max[/imath] của [imath]y=\sqrt{t^2-2t+2}+\sqrt{t^2+6t+13}[/imath] với [imath]t \in [-1,1][/imath]
Biến đổi [imath]y=\sqrt{(1-t)^2+1}+\sqrt{(t+3)^2+4}[/imath]
Áp dụng BĐT Minkowsky ta có: [imath]\sqrt{(1-t)^2+1}+\sqrt{(t+3)^2+4} \geq \sqrt{(1-t+t+3)^2+(1+2)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]\dfrac{1-t}{1}=\dfrac{t+3}{2} \Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}[/imath](thỏa mãn)
Mặt khác, [imath]\sqrt{(1-t)^2+1} \leq \sqrt{(1-t)^2+2(1-t)+1}=\sqrt{(1-t+1)^2}=2-t[/imath]
Tới đây ta cần chứng minh [imath]\sqrt{t^2+6t+13} \leq t+a[/imath] và điểm rơi tại [imath]t=1[/imath]
Thay [imath]t=1[/imath] vào ta được [imath]a=2\sqrt{5}-1[/imath] tức ta cần chứng minh [imath]\sqrt{t^2+6t+13} \leq (t-1)+2\sqrt{5}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t^2+6t+13 \leq (t-1)^2+20+4\sqrt{5}(t-1)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 8(t-1) \leq 4\sqrt{5}(t-1)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (8-4\sqrt{5})(t-1) \leq 0[/imath] (Đúng do [imath]t \leq 1[/imath] và [imath]4\sqrt{5}>4\sqrt{4}=8[/imath])
Từ đó [imath]\sqrt{t^2+6t+13} \leq t+2\sqrt{5}-1 \Rightarrow y \leq 2-t+t+2\sqrt{5}-1=1+2\sqrt{5}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]t=1[/imath].
Vậy [imath]\min y=5, \max y=2\sqrt{5}+1[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lượng giác] Chứng minh đẳng thức lượng giác
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
