Ý tưởng: Ta sẽ so sánh trực tiếp [TEX]\frac{1}{2}x^4[/TEX] với [TEX]x^3/TEX]
Lấy [TEX]m>0[/TEX] là tham số, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
[tex]x^4+x^4+x^4+m\geq 4\sqrt[4]{m}x^3\Leftrightarrow 3x^4+m\geq 4\sqrt[4]{m}x^3\Rightarrow \frac{1}{2}x^4+\frac{m}{6}\geq \frac{2}{3}\sqrt[4]{m}x^3[/tex]
Ta chọn m sao cho [TEX]\sqrt[4]{m}.\frac{2}{3}=1 \Rightarrow m=\frac{81}{16}[/TEX]
Bài làm: Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
[tex]x^4+x^4+x^4+\frac{81}{16}\geq 6x^3\Rightarrow \frac{1}{2}x^4-x^3 \geq -\frac{27}{32}[/tex]
Tương tự, cộng vế theo vế ta có: [tex]P \geq 1-3.\frac{27}{32}=1-\frac{81}{32}=\frac{-49}{32}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=y=z=\frac{3}{2}[/TEX][/TEX]