min max kho qua giup em voi

D

duynhan1

Cho $x,\ y \in R^+$ thỏa $x+y \ge 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A = \frac{3x^2+4}{4x} + \frac{2+y^3}{y^2} $
Bài giải:
$A = (\frac34-a) x + (ax+\frac{1}{x}) + (1-2b) y + (by + by + \frac{2}{y^2}) $
Để đẳng thức xảy ra, và sử dụng giả thiết $x+y \ge 4$ thì ta phải có: $$ \begin{cases} x= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ y = \sqrt[3]{\frac{2}{b}} \\ x+y= 4 \\ \frac34-a = 1-2b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a= 2b - \frac14 & (1) \\ \frac{1}{\sqrt{2b - \frac14}} + \sqrt[3]{\frac{2}{b}} = 4 & (2) \end{cases} $$ Dễ thấy phương trình (2) có nghiệm dương duy nhất $b = \frac14 \Rightarrow a = \frac14$
Từ đó ta có lời giải sau:
$ A = \frac12 ( x+ y) + \frac{1}{4} x + \frac{1}{x} + \frac14 y + \frac14 y + \frac{2}{y^2} \ge 2 + 2 . \sqrt{\frac14} + 3 . \sqrt[3]{\frac14 \frac14 .2} =\frac92 $
Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=2$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom