Toán Min, Max, Chia đa thức, đơn thức

[Linh's Nguyễn's]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm a và b để:
[tex](x^{3}+ ax^{3}+bx -2 ) \vdots (x^{2}+1)[/tex]

2. Tìm số nguyên n để:
[tex](n^{3}-n^{2}+2n+7)\vdots (n+1)[/tex]

3. Tìm Min
a) [tex]x^{2}+5y^{2}+2xy-4x-8y+2017[/tex]

b) [tex]2x^{2}+3y^{2}+4xy-8x-2y+18[/tex]

4. Tìm số tự nhiên n để:
[tex](n^{2}-8)^{2}+36[/tex] là số nguyên tố

5. Tìm Max của:
[tex]-5x^{2}-2xy-2y^{2}+14x+10y-16[/tex]

6. Xác định đa thức f(x) biết:
f(x): (x+2) thì dư 10, chia cho (x-2) thì dư 24, chia cho [tex](x^{2}-4)[/tex] thì được thương là -5x và còn dư
+ Định lý Bơ- du là gì? Cho ví dụ cụ thể

 

[tuananh982]

2. Tìm số nguyên n để:
[tex](n^{3}-n^{2}+2n+7)\vdots (n+1)[/tex]
+ Định lý Bơ- du là gì? Cho ví dụ cụ thể

Định lí Bơ-du là 1 định lí mà ta có thể xác định chính xác số dư của đa thức f(x) cho đa thức g(x) thông qua phương thức tìm nghiệm của g(x).
Ví dụ: bài tập 2.
$(n^{3}-n^{2}+2n+7) : (n+1)$
Để xác định số dư của $n^{3}-n^{2}+2n+7$, ta cần tìm nghiệm của đa thức $n+1$.
Khi có nghiệm của đa thức n+1 là -1 thì ta thay vào đa thức $n^{3}-n^{2}+2n+7$.
=> f(-1)=4 => số dư của đa thức $n^{3}-n^{2}+2n+7$ khi chia cho đa thức $n+1$ sẽ là 4.
Ta rút ra được: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức $x-a$ là 1 hằng số bằng f(a).

 

[Toshiro Koyoshi]

+ Định lý Bơ- du là gì? Cho ví dụ cụ thể

Định lý Bơ - du có đầy đủ trong sách bài tập biên soạn mới và có cả ví dụ chứng minh định lý!

1. Tìm a và b để:
(x3+ax3+bx−2)⋮(x2+1)(x3+ax3+bx−2)⋮(x2+1)(x^{3}+ ax^{3}+bx -2 ) \vdots (x^{2}+1)

Cái này thì chị đặt phép chia được dư cuối cùng là bao nhiêu thì cho nó bằng 0

2. Tìm số nguyên n để:
(n3−n2+2n+7)⋮(n+1)(n3−n2+2n+7)⋮(n+1)(n^{3}-n^{2}+2n+7)\vdots (n+1)

Đặt về phân số!

3. Tìm Min
a) x2+5y2+2xy−4x−8y+2017x2+5y2+2xy−4x−8y+2017x^{2}+5y^{2}+2xy-4x-8y+2017

b) 2x2+3y2+4xy−8x−2y+18

Vẫn nhóm hạng tử để ra A^2+B^2+C^2+a(với a là hằng số)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1. Tìm a và b để:
[tex](x^{3}+ ax^{3}+bx -2 ) \vdots (x^{2}+1)[/tex]

2. Tìm số nguyên n để:
[tex](n^{3}-n^{2}+2n+7)\vdots (n+1)[/tex]

3. Tìm Min
a) [tex]x^{2}+5y^{2}+2xy-4x-8y+2017[/tex]

b) [tex]2x^{2}+3y^{2}+4xy-8x-2y+18[/tex]

4. Tìm số tự nhiên n để:
[tex](n^{2}-8)^{2}+36[/tex] là số nguyên tố

5. Tìm Max của:
[tex]-5x^{2}-2xy-2y^{2}+14x+10y-16[/tex]

6. Xác định đa thức f(x) biết:
f(x): (x+2) thì dư 10, chia cho (x-2) thì dư 24, chia cho [tex](x^{2}-4)[/tex] thì được thương là -5x và còn dư
+ Định lý Bơ- du là gì? Cho ví dụ cụ thể

1. Ta có:
$x^3+ax\color{red}{^2}+bx-2$
$=x^3+x+ax^2+a+bx-x-a-2$
$=x(x^2+1)+a(x^2+1)+(b-1)x-(a+2)$
$=(x^2+1)(x+a)+(b-1)x-(a+2)$
$(x^3+ax^2+bx-2) \ \vdots \ (x^2+1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b-1=0 \\ a+2=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-2 \\ b=1 \end{matrix} \right.$

2. Ta có:
$n^3-n^2+2n+7
\\=n^3-2n^2+4n+n^2-2n+4+3
\\=n(n^2-2n+4)+(n^2-2n+4)+3
\\=(n+1)(n^2-2n+4)+3$
$(n^3-n^2+2n+7) \ \vdots \ (n+1)\Leftrightarrow 3 \ \vdots \ (n+1)\Leftrightarrow (n+1)\in Ư(3)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}\Leftrightarrow \dots$

3.
a) $x^2+5y^2+2xy-4x-8y+2017$
$=(x^2+y^2+4+2xy-4x-4y)+(4y^2-4y+1)+2012$
$=(x+y-2)^2+(2y-1)^2+2012\ge 2012$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac 32;y=\dfrac12$
b) $2x^2+3y^2+4xy-8x-2y+18$
$=2(x^2+y^2+4+2xy-4x-4y)+(y^2+6y+9)+1$
$=2(x+y-2)^2+(y+3)^2+1\ge 1$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=5;y=-3$

4.
$(n^2-8)^2+36=(n^2-6n+10)(n^2+6n+10)$
Để $(n^2-8)^2+36$ là số nguyên tố thì $n^2-6n+10=1$ hoặc $n^2+6n+10=1$
Mà $n\in \mathbb{N}$ nên $n^2+6n+10\ge 10>1$
$\Rightarrow n^2-6n+10=1$
$\Leftrightarrow (n-3)^2=0$
$\Leftrightarrow n=3$ (TM)

5.
$-5x^2-2xy-2y^2+14x+10y-16
\\=1-5(x^2+\dfrac{y^2}{25}+\dfrac{49}{25}+\dfrac{2xy}5-\dfrac{14x}5-\dfrac{14y}{25})-\dfrac 95(y^2-4y+4)
\\=1-5(x+\dfrac y5-\dfrac 75)^2-\dfrac15(y-2)^2\le 1$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow x=1;y=2$

6.
Vì $f(x)$ chia $(x^2-4)$ nên số dư có bậc cao nhất là một.
Đặt $f(x)=-5x(x^2-4)+ax+b$
Vì $f(x)$ chia $(x+2)$ dư $10\Rightarrow f(-2)=10$
$\Rightarrow -2a+b=10$ $(1)$
Vì $f(x)$ chia $(x-2)$ dư $24\Rightarrow f(2)=24$
$\Rightarrow 2a+b=24$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hpt: $\left\{\begin{matrix} -2a+b=10 \\ 2a+b=24 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3,5 \\ b=17 \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow f(x)=-5x(x^2-4)+3,5x+17=-5x^3+23,5x+17$