Toán MAX-MIN

[Dương Thu Vân]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0và x^3+y^3+z^3=3.Tìm Max P=3xy+3yz+3xz-xyz

 

[Thần mộ 2]

Ta có:
$\sum( x^3 + 1 + 1 ) \geq \sum 3x $
và $\sum(x^3 + x) \geq \sum2x^2 $
Từ đó chứng minh được $x+y+z \leq 3 $ và $x^2 + y^2 + z^2 \leq 3 $
Trong 3 số $x-1,y-1,z-1 $ luôn tìm được 2 số có tích không âm. Giả sử
$(x-1)(y-1) \geq 0
\Leftrightarrow 3xz + 3yz - xyz \leq 3z + 2xyz $
Ta có: $2xyz \leq \dfrac{2(x^3+y^3+z^3)}{3} = 2 $
và:
$3(xy + z) \leq \dfrac{3(x^2+y^2+z^2+1)}{2} \leq 6 $
Cộng 2 BĐT trên lại ta có
$3(xy+yz+zx) - xyz \leq 2xyz + 3xy + 3z \leq 8 $