Toán [Mã đề 106] Đề thi THPTQG môn Toán năm 2022

[Alice_www]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề được gõ lại, nếu có gì sai xót mong các bạn thông cảm.


Đáp án chi tiết 10 câu cuối sẽ được cập nhập dần các bạn theo dõi để biết được nhanh nhất nhé
Ngoài ra nếu các bạn cần giải chi tiết câu nào thì hãy trả lời phía dưới nha

 

[Alice_www]

41. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn [imath](3^b-3)(a.2^b-16)<0[/imath]

TH1: [imath]3^b-3>0; a2^b-16<0[/imath]
[imath]3^b-3>0\Leftrightarrow b>1[/imath]
[imath]a2^b-16<0\Leftrightarrow a2^b<16[/imath] (*)

+) [imath]a>0[/imath] thì [imath]2^b<\dfrac{16}{a}[/imath]
Để có đúng 2 số nguyên b thì [imath]2^3<\dfrac{16}{a}\le 2^4\Leftrightarrow 1\le a<2[/imath]

+) [imath]a<0[/imath] thì [imath]a2^b<0[/imath] (*) luôn đúng nên có vô số nghiệm b (loại)

TH2: [imath]3^b-3<0; a2^b-16>0[/imath]

[imath]3^b-3<0\Leftrightarrow b<1[/imath]
[imath]a2^b-16>0\Leftrightarrow a2^b>16[/imath]

+) [imath]a<0\Rightarrow a2^b<0[/imath] (không thỏa)

+) [imath]a>0\Rightarrow 2^b>\dfrac{16}a[/imath]
Để có đúng 2 số nguyên b thì [imath]2^{-2}\le \dfrac{16}a<2^{-1}\Leftrightarrow 32< a\le 64[/imath]

Vậy có tất cả 33 số nguyên a thỏa

 

[Alice_www]

42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn [imath]|z^2|=2|z-\overline{z}|[/imath] và [imath]|(z+4)(\overline{z}+4i)|=|z-4i|^2[/imath]

Đặt [imath]z=a+bi[/imath]
[imath]|z^2|=2|z-\overline{z}|\Rightarrow |a^2-b^2+2abi|=4|b|\Rightarrow (a^2-b^2)^2+4a^2b^2=16b^2[/imath]

[imath]\Rightarrow (a^2+b^2)=16b^2\Rightarrow \left[\begin{matrix}a^2+b^2=4b\\a^2+b^2=-4b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix}a^2+(b-2)^2=4\\a^2+(b+2)^2=4\end{matrix}\right.[/imath]

[imath]|(z+4)(\overline{z}+4i)|=|z-4i|^2\Rightarrow |(a+bi+4)(a-bi+4i)|=|(a+bi-4i)(a-bi+4i)|[/imath]

[imath]\Rightarrow \left[\begin{matrix}a-bi+4i=0\\|a+bi+4|=|a+bi-4i|\end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Rightarrow z=4i;[/imath] điểm biểu diễn [imath]z[/imath] thuộc đường trung trực của [imath]A(-4,0); B(0,4)[/imath]

Dựa vào hình vẽ ta có 3 điểm thỏa

Vậy có tất cả 4 số phức thỏa.

 

[Alice_www]

43. Cho các số phức [imath]z_1,z_2,z_3[/imath] thỏa mãn [imath]2|z_1|=2|z_2|=|z_3|=2[/imath] và [imath](z_1+z_2)z_3=2z_1z_2[/imath]. Gọi A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của [imath]z_1,z_2,z_3[/imath] trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng?

[imath]z_1z_3+z_2z_3=2z_1z_2\Rightarrow z_1z_2z_3\overline{z_2}+z_1z_2z_3\overline{z_1}=\dfrac{1}2z_1z_2z_3\overline{z_3}[/imath]
[imath]\Rightarrow \overline{z_1}+\overline{z_2}=\dfrac{1}2\overline{z_3}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}2\overrightarrow{OC}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\dfrac{1}4\overrightarrow{OC}[/imath] (M là trung điểm của AB)

[imath]\Rightarrow OM=\dfrac{1}2\Rightarrow AB=2\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt3[/imath]

[imath]S_{ABC}=\dfrac{1}2CM.AB=\dfrac{3\sqrt3}4[/imath]

 

[7 1 2 5]

44. Xét tất cả các số thực [imath]x,y[/imath] sao cho [imath]8^{9-y^2} \geq a^{6x-\log _2 a^3}[/imath] với mọi số thực dương [imath]a[/imath]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]P=x^2+y^2-6x-8y[/imath] là?

Từ giả thiết ta có [imath]\log_2 (8^{9-y^2}) \geq \log_2 (a^{6x-\log_2 a^3})[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 3(9-y^2) \geq (6x-3\log_2 a)\log_2 a[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 9-y^2 \geq (2x-t)t[/imath] (với [imath]t=\log_2 a[/imath])
[imath]\Leftrightarrow 9-x^2-y^2 \leq -(x-t)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2 \leq 9+(x-t)^2[/imath] (1)
Vì bất phương trình ban đầu đúng với mọi [imath]a>0[/imath] nên (1) đúng với mọi [imath]t \in \mathbb{R}[/imath], hay [imath]x^2+y^2 \leq 9[/imath]
Mặt khác, theo BĐT Bunyakovsky thì [imath](3x+4y)^2 \leq (3^2+4^2)(x^2+y^2)=25(x^2+y^2) \Rightarrow 3x+4y \leq 5\sqrt{x^2+y^2}[/imath]
[imath]\Rightarrow P =x^2+y^2-2(3x+4y) \leq (x^2+y^2)-10\sqrt{x^2+y^2}[/imath].
Đặt [imath]t=\sqrt{x^2+y^2}[/imath] thì [imath]t \in [0,3][/imath].
Ta cần tìm [imath]\min t^2-10t[/imath]
Xét [imath]f(t)=t^2-10t[/imath] trên [imath][0,3][/imath] ta thấy [imath]\min_{[0,3]} t^2-10t=f(3)=-21[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]x=\dfrac{9}{5},y=\dfrac{12}{5}[/imath]
Vậy [imath]\min P=-21[/imath].

 

[Alice_www]

45. Cho khối lăng trụ đứng [imath]ABC.A'B'C'[/imath] có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA'=2a, góc giữa 2 mặt phẳng (ABC), (A'BC) bằng [imath]60^\circ[/imath]. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.


Gọi D là trung điểm của BC
Ta có [imath]BC\bot AD, BC\bot AA'\Rightarrow BC\bot (A'DA)[/imath]
[imath]((ABC),(A'BC))=\widehat{A'DA}[/imath]

[imath]\tan \widehat{A'DA}=\dfrac{AA'}{AD}\Rightarrow AD=\dfrac{2a\sqrt3}3[/imath]

[imath]\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{4a^2}3\Rightarrow V=\dfrac{8a^3}3[/imath]

 

[7 1 2 5]

49. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số [imath]m[/imath] thỏa mãn hàm số [imath]y=|x^4-mx^2+64x|[/imath] có đúng [imath]3[/imath] điểm cực trị?

Ta có [imath]y'=\dfrac{x^4-mx^2+64x}{|x^4-mx^2+64x|}\cdot (4x^3-2mx+64)[/imath]
Nhận thấy số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bậc lẻ của hệ: [imath]\left[\begin{array}{l} x^4-mx^2+64x=0 \\ 4x^3-2mx+64=0 \end{array}\right.[/imath]
[imath]\left[\begin{array}{l} x^3-mx+64=0 \\ 2x^3-mx+32=0 \\ x=0 \end{array}\right.[/imath]
[imath]\left[\begin{array}{l} x=0 \\ m=\dfrac{x^3+64}{x}(1) \\ m=\dfrac{2x^3+32}{x}(2) \end{array}\right.[/imath]
Để hệ trên có [imath]3[/imath] nghiệm bội lẻ thì (1),(2) đều phải có đúng [imath]1[/imath] nghiệm bội lẻ, tức là phương trình có [imath]1[/imath] nghiệm hoặc có [imath]3[/imath] nghiệm với [imath]1[/imath] nghiệm bội [imath]2[/imath].
Xét bảng biến thiên của [imath]f(x)=\dfrac{x^3+64}{x}[/imath]
[imath]f'(x)=\dfrac{3x^3-(x^3+64)}{x^2}=\dfrac{2(x^3-32)}{x^2}[/imath]
[math]\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & & 0 & & & 2\sqrt[3]{4} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & & || & - & & 0 & + \\ \hline f(x) & +\infty & & & || & & & & & \\ & & \searrow & & || & & & & & \\ & & & -\infty & || & +\infty & & & & +\infty \\ & & & & || & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & & || & & & 24\sqrt[3]{2} & & \end{array}[/math]Từ đó [imath]m \leq 24\sqrt[3]{2}[/imath]
Xét bảng biến thiên của [imath]g(x)=\dfrac{2x^3+32}{x}[/imath]
[imath]g'(x)=\dfrac{6x^3-(2x^3+32)}{x^2}=\dfrac{4(x^3-8)}{x^2}[/imath]
[math]\begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & & 0 & & & 2 & & +\infty \\ \hline g'(x) & & - & & || & - & & 0 & + \\ \hline g(x) & +\infty & & & || & & & & & \\ & & \searrow & & || & & & & & \\ & & & -\infty & || & +\infty & & & & +\infty \\ & & & & || & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & & || & & & 24 & & \end{array}[/math]Từ đó [imath]m \leq 24[/imath].
Kết hợp 2 trường hợp ta được [imath]m \leq 24[/imath]. Từ đó có [imath]24[/imath] số nguyên dương [imath]m[/imath] thỏa mãn.

 

[Alice_www]

46. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng [imath]120^\circ[/imath] và chiều cao bằng 2. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn của hình nón đã cho. Diện tích của (S) bằng.



[imath]\widehat{ASI}=60^\circ\Rightarrow AI=r=2\sqrt3[/imath]

Ta có: [imath]R^2-OI^2=r^2\Rightarrow R^2-(2-R)^2=12\Rightarrow R=4[/imath]

[imath]\Rightarrow S=4\pi R^2=64\pi[/imath]

 

[Alice_www]

48. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2,1,1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Phương trình của (P) là:

Gọi H là chân đường cao của A trên d
[imath]\Rightarrow H(0,1,0)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(2,0,1)[/imath]
Ta có: [imath]d(A,(P))\le AH[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]AH\bot (P)[/imath]
[imath]\Rightarrow (P): 2x+z=0[/imath]

 

[Alice_www]

50. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1,4,2) bán kính bằng 2. Gọi M,N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox,Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng [imath]\frac{7}2[/imath]. Gọi A là tiếp điểm của MN và (S). giá trị của AM.AN là

Ta nhận thấy [imath]z_I=2\Rightarrow (S)[/imath] tiếp xúc với mặt phẳng Oxyz tại [imath]A(1,4,0)[/imath]

Xét tọa độ trên mặt phẳng Oxy
[imath]M(m,0); N(0,n), A(1,4)[/imath]
[imath]\Rightarrow MA=\sqrt{(m-1)^2+16}; NA=\sqrt{(n-4)^2+1}[/imath]
PT đường thẳng MN là [imath]\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}n=1[/imath]
[imath]A\in MN\Rightarrow \dfrac{1}m+\dfrac{4}n=1\Rightarrow m=\dfrac{n}{n-4}[/imath]

Xét [imath]\Delta IMN[/imath] có [imath]S=\dfrac{1}2IA.MN=\dfrac{IM.IN.MN}{4R}\Rightarrow IM.IN=14[/imath]

[imath]IM=\sqrt{IA^2+MA^2}=\sqrt{(m-1)^2+20}; IN=\sqrt{IA^2+AN^2}=\sqrt{(n-4)^2+5}[/imath]

[imath]\Rightarrow \sqrt{(m-1)^2+20}.\sqrt{(n-4)^2+5}=14\Rightarrow \sqrt{\dfrac{16}{(n-4)^2}+20}.\sqrt{(n-4)^2+5}=14[/imath]

Đặt [imath]t=(n-4)^2[/imath]

Ta có: [imath]\sqrt{(t+5)(5t+4)}=7\sqrt{t}\Rightarrow 5t^2-20t+20=0\Rightarrow t=2[/imath]

Suy ra [imath]n=\pm\sqrt{2}+4\Rightarrow m=1\pm 2\sqrt2[/imath]

Khi đó [imath]MA=2\sqrt6; NA=\sqrt3\Rightarrow MA.NA=6\sqrt2[/imath]

 

[Alice_www]

47. Cho hàm số bậc bốn [imath]y=f(x)[/imath]. Biết rằng hàm số [imath]g(x)=\ln f(x)[/imath] có bảng biến thiên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường [imath]y=f'(x); y=g'(x)[/imath] thuộc khoảng?

[imath]S=\displaystyle \int_{x_1}^{x_3}|f'(x)-g'(x)|=\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} [f'(x)-g'(x)]-\displaystyle \int_{x_2}^{x_3}[f'(x)-g'(x)][/imath]

[imath]=\dfrac{199}{16}-\ln \dfrac{199}{16}-(12-\ln 12)+ \dfrac{199}{16}-\ln \dfrac{199}{16}- (4-\ln 4)=7.7047 \in (7,8)[/imath]