Toán 11 Lý thuyết dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Sweetdream2202

Cựu Cố vấn Toán
Thành viên
24 Tháng mười 2018
1,615
1,342
216
22
TP Hồ Chí Minh
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Định nghĩa
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương [tex]\mathbb{N}^*[/tex] được gọi là 1 dãy số vô hạn ( dãy số). kí hiệu:
[tex]\begin{matrix} u:\mathbb{N}^* \mapsto \mathbb{R}\\ n \mapsto u(n) \end{matrix}[/tex]
dãy số thường được viết dưới dạng khai triển [tex]u_1,u_2,...,u_n,...[/tex], trong đó [tex]u(n)=u_n[/tex] được gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
b)b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với [tex]m\in \mathbb{N}^*[/tex] được gọi là một dãy số hữu hạn.
dạng khai triển [tex]u_1, u_2,...,u_m[/tex] với [tex]u_1[/tex] là số hạng đầu, [tex]u_m[/tex] là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
khi đó [tex]u_n=f(n)[/tex], trong đó [tex]f[/tex] là một hàm số xác định trên [tex]\mathbb{N}^*[/tex]
Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay chúng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được Un.
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được Un với n tuỳ ý.
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)
- Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).
- Với n ≥ 2, cho một công thức tính [tex]u_n[/tex] nếu biết [tex]u_{n-1}[/tex] (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)
Chẳng hạn, các công thức có thể là:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a\\ u_n=f(u_{n-1}),n\geq 2 \end{matrix}\right.[/tex]
hoặc
[tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a;u_2=b\\ u_n=2.f(u_{n-1})+3.g(u_{n-2})+2019, n\geq 3 \end{matrix}\right.[/tex]
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
- dãy số được gọi là dãy số tăng nếu [tex]u_{n+1}> u_n,\forall n\in \mathbb{N}^*[/tex]
- dãy số được gọi là dãy số giảm nếu [tex]u_{n+1}< u_n,\forall n\in \mathbb{N}^*[/tex]
Phương pháp xét tính tăng giảm:
- cách 1: xét hiệu [tex]H=n_{n+1}-u_n[/tex]
+ nếu H>0 thì dãy tăng
+ nếu H<0 thì dãy giảm
-cách 2: với dãy số [tex]u_n>0[/tex], ta xét thương [tex]T=\frac{u_{n+1}}{u_n}[/tex]
+ nếu T>1 thì dãy tăng
+ nếu T<1 thì dãy giảm
4. Dãy số bị chặn
- Dãy số Un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
Un ≤ M, với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
- Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
Un ≥ m, với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
- Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:
m ≤ Un ≤ M, với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
5. cấp số cộng
- cấp số cộng là dãy số được xác định bởi:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a u_n=u_{n-1}+d,n\geq 2\\ \end{matrix}\right.[/tex]
với d là công sai
- tính chất: [tex]u_{n}=u_1+(n-1)d[/tex]
[tex]2u_n=u_{n-1}+u_{n+1}[/tex]
- tổng cấp số cộng: [tex]S_n=n.u_1+\frac{n(n-1)}{2}d[/tex], với [tex]S_n[/tex] là tổng của n số hạng đầu
6. cấp số nhân
- cấp số nhân là dãy số được xác đinh bởi:
[tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a u_n=u_{n-1}.q,n\geq 2\\ \end{matrix}\right.[/tex]
với q là công bội
- tính chất: [tex]u_n=u_1.q^{n-1}[/tex]
[tex]u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}[/tex]
- tổng cấp số cộng: [tex]S_n=u_1.\frac{q^n-1}{q-1}[/tex]
- tổng cấp số nhân lùi vô hạn: nếu dãy số là cấp số nhân với công bội q sao cho |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. khi đó, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính: [tex]S=\frac{u_1}{1-q}[/tex]
 
Top Bottom