Toán [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Hình học

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn Mình xin phép mở đầu bài viết bằng một bài toán hình học:

(Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM năm 2019 - 2020) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) có đường cao $AH$. Đường tròn tâm $H$ bán kính $HA$ cắt cạnh $AC$ tại $D$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AC$ cắt $BC$ tại $E$. a) Chứng minh $BH = HE$ b) Đường thẳng qua $E$ vuông góc với $BC$ cắt đường tròn $(H)$ tại $K, L$. Chứng minh $CK, CL$ là các tiếp tuyến của $(H)$ ​
Lời giải. a) $$\widehat{AEH} = \widehat{ADH} = \widehat{DAH} = \widehat{ABH}$$ Suy ra $\triangle{ABE}$ cân tại $A$, suy ra $BH = BE$ b) $$HK^2 = HA^2 = HB \cdot HC = HE \cdot HC$$ Suy ra $\triangle{HKE} \sim \triangle{HCK}$ nên $\widehat{HKC} = 90^\circ$. Từ đó ta có $CK$ là tiếp tuyến của $(H)$. Tương tự ta được đpcm.

[TBODY] [/TBODY]

Có thể nói, hình học THCS chỉ bao gồm những thành phần cơ bản là cạnh và góc. Tuy vậy, khi những yếu tố đơn giản đó kết hợp lại với nhau, chúng tạo nên những kết quả hết sức bất ngờ và thú vị:

• Ở hình học lớp 7, các bạn học về đường thẳng song song, tam giác bằng nhau, ... Đây là những kiến thức nền tảng để biến đổi những thứ bằng nhau, đặc biệt là góc.
  
  
• Ở hình học lớp 8, các bạn học về định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng. Đây là những kiến thức nền tảng để biến đổi những thứ tỉ lệ nhau, đặc biệt là cạnh.
  
  
• Ở hình học lớp 9, các bạn học về đường tròn. Đường tròn là thứ khó nhất trong chương trình: bạn sẽ không biết là mình cần sử dụng yếu tố cạnh hay yếu tố góc để giải quyết bài toán nữa! Nhờ đó, đây cũng là chủ đề chính trong chương trình HSG Toán THCS!

Trước khi thực sự bắt đầu vào topic, mình xin được mượn câu nói của Euclid:

"There is no royal road to geometry" - Euclid​

Khi bạn bắt đầu học hình học, bạn sẽ bắt đầu hỏi: làm thế nào để chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy, làm thế nào để abcxyz... Nhưng càng trải qua nhiều bài toán, bạn sẽ tự nhận ra là: không có một cách hay phương pháp cố định nào để chứng minh cả! Vậy làm thế nào...???

Mỗi người sẽ có một câu trả lời khác nhau cho vấn đề này. Với mình, đó là sự khác biệt giữa một học sinh bình thường học hình học và một học sinh giỏi học hình học. Một học sinh giỏi không đơn thuần chỉ dựa vào phương pháp để làm bài, mà còn dựa trên kinh nghiệm của hàng chục, hàng trăm bài toán mà bạn ấy đã đi qua để nhờ đó mà giải một bài toán mới!

Topic này sẽ cung cấp cho các bạn một số bài tập trong các đề thi gần đây để rèn luyện kinh nghiệm của mình. Ngoài ra, mình sẽ cung cấp các bạn một số kiến thức cơ bản, một số phương pháp, cũng như một số kinh nghiệm của mình trong việc giải các bài toán hình học.

Cùng bắt đầu nhé!

Tổng hợp kiến thức

Lưu ý: Những định lý được dùng

Các bạn lưu ý, trong quá trình học hình học, bạn sẽ gặp phải một số định lý mới. Mình sẽ điểm tên một số:

• Định lý Ceva, Menelaus (Me-ne-le-uýt) về cách xử lý đồng quy, thẳng hàng
• Định lý Ptolemy (Ptô-lê-mê) về mối liên hệ giữa các cạnh trong tứ giác nội tiếp
• Kiến thức về phương tích, trục đẳng phương trong đường tròn
• ...

Bạn nên tham khảo lại với giáo viên phụ trách đội tuyển trong trường để xem địa phương của bạn có cho phép sử dụng các định lý này không.
Trong khuôn khổ topic thì mình sẽ chỉ dùng đến kiến thức lớp 7, lớp 8, lớp 9, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt như phương tích.
Kiến thức lớp 7

Bao gồm những kiến thức chưa liên quan đến tỉ lệ mà chỉ thông qua biến đổi dấu bằng:

• Định lý Pytago
• Tam giác bằng nhau
• Tính chất về tâm đường tròn bàng tiếp

Kiến thức lớp 8

Bao gồm những kiến thức liên quan đến tỉ lệ:

• Định lý Ta-lét
• Tam giác đồng dạng
• Định lý đường phân giác

Kiến thức lớp 9

Bao gồm những kiến thức liên quan đến đường tròn và tứ giác nội tiếp.
Mình sẽ nhóm các kiến thức theo chủ đề, thay vì nhóm theo lớp nhé.
Tứ giác nội tiếp

Các tính chất về góc trong đường tròn

​

Giả sử ta có hình như hình vẽ. Khi đó ta có các hệ thức:

1. $\widehat{AOB} = 2 \widehat{ACB}$: góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp
2. $\widehat{xAB} = \widehat{ACB}$: góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp
3. $\widehat{OBA} = 90^\circ - \widehat{ACB}$: tính chất này không có trong SGK

Tính chất 1, 2 bạn có thể giải thích trong bài làm như mình giải thích ở bên phải.
Tính chất 3, bạn có thể chứng minh như sau:

• $\widehat{OBA} = 90^\circ - \dfrac12 \widehat{AOB} = 90^\circ - \widehat{ACB}$ (do $\triangle{OAB}$ cân tại $O$ và tính chất góc ở tâm)

Các tính chất về góc trong tứ giác nội tiếp

​

Với tứ giác nội tiếp như hình vẽ, bạn sẽ có các tính chất như sau:

1. $\widehat{DAC} = \widehat{DBC}$: góc nội tiếp chắn cung $DC$
2. $\widehat{JAB} = \widehat{BCD}$: tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp
3. $\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^\circ$: tính chất tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp

Các tính chất này bạn có thể giải thích trong bài làm bằng cách mở ngoặc: ($ABCD$ là tứ giác nội tiếp)
Tính chất về cạnh trong tứ giác nội tiếp (phương tích)

Trong tứ giác nội tiếp, có một tính chất khá là hữu ích như sau:

• $IA \cdot IC = IB \cdot ID = R^2 - IO^2$
• $JA \cdot JD = JB \cdot JC = JO^2 - R^2$

Trong đó $O$ là tâm đường tròn. Giá trị này là đặc trưng cho mỗi điểm
Tính chất này bạn dùng bằng cách chứng minh lại bằng tam giác đồng dạng và biến đổi cạnh nhé.
Những kiến thức trên cũng chưa hẳn là phần "HSG" đâu. Phần HSG, như mình nói lúc trước, là những kỹ thuật bạn sử dụng để giải bài toán, dựa trên những kiến thức nền tảng trên. Mình xin trình bày một số kỹ thuật mà mình biết (mình không biết chính xác tên gọi, nhưng nếu được, bạn hãy đọc tiếp để hiểu ý tưởng nha):

• Biến đổi góc ("đuổi góc", angle chasing)
• Biến đổi tỉ lệ
• Điểm duy nhất (điểm trùng, ...)
• Đổi mô hình
• ...

Cụ thể từng kỹ thuật thì mình giới thiệu khi gặp nhé!

Ngày mai mốt mình sẽ đăng topic bài tập, các bạn đón chờ nhé

 

[iceghost]

1. Đơn giản hóa hình vẽ

Có thể, bạn đã từng gặp qua những bài hình có tới 4 ý a, b, c, d, và cũng từng gặp qua những bài không có các ý a, b, c, d. Bạn cảm nhận các bài nào khó hơn?

Mình thường thấy là những bài ngắn gọn sẽ khó hơn, vì các ý a, b, c, d sẽ hướng dẫn chúng ta đi qua các bước để giải quyết bài toán. Tuy nhiên, khi đi qua nhiều ý như vậy, đôi khi hình vẽ trở nên khá là lộn xộn và có những điểm được vẽ cho câu c nhưng không hề liên quan đến câu d. Lấy ví dụ câu này:

Bài 7 (2,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a.Chứng minh: OA BC vuông tại H.
b.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt AC tại M. Chứng minh: tam giác AMO cân.
c.Qua A vẽ đường thẳng không đi qua tâm cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F (E nằm giữa A và F), K là trung điểm của EF, tia OK cắt BC tại S. Chứng minh: SE là tiếp tuyến của (O)

Như bạn thấy, điểm $M$ nằm ở câu b hình như không liên quan gì đến câu c cả. Như vậy, mình có thể hoàn toàn bỏ qua điểm $M$ nếu chỉ làm câu c đúng không...?

Quay trở lại bài toán ở post trên:

(Đề thi HSG lớp 9 TP.HCM năm 2019 - 2020) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) có đường cao $AH$. Đường tròn tâm $H$ bán kính $HA$ cắt cạnh $AC$ tại $D$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $AC$ cắt $BC$ tại $E$.

a) Chứng minh $BH = HE$

b) Đường thẳng qua $E$ vuông góc với $BC$ cắt đường tròn $(H)$ tại $K, L$. Chứng minh $CK, CL$ là các tiếp tuyến của $(H)$​

Như bạn thấy, điểm $B$ trong hình vẽ ở câu b hình như hơi bị lạc lõng. Ví dụ ta bỏ đi điểm $B$ thì sao nhỉ?

​

Ta vẫn có thể xây dựng được hình vẽ một cách dễ dàng. Mình sẽ đi thêm một bước nữa là bỏ đi điểm $K$ và $L$ luôn, bằng cách viết lại đpcm:

$CK$ là tiếp tuyến $\iff CK^2 + KH^2 = CH^2$
​

Do $KE \perp CH$ nên $CK^2 - CE^2 = KE^2 = HK^2 - EH^2$. Thay vào, chú ý $HK = R$ ta được:

đpcm $\iff CE^2 + 2R^2 - EH^2 = CH^2$
​

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh điều này là được. Ta bỏ đi điểm $K$ và $L$ trong hình vẽ:

​

Tới đây, khi bạn tiếp tục bỏ đi điểm $E$ bằng $CE = \dfrac{CD \cdot CA}{CH}$ thì bạn sẽ thu được $CD \cdot CA = CH^2 - R^2$, đây là đẳng thức đúng (phương tích của $C$ so với $(H)$ và ta sẽ được đpcm

Như vậy, khi bỏ qua điểm $B$, ta vẫn có thể làm ra bằng cách bỏ đi các dữ kiện từ từ. Tuy nhiên, nếu ta tận dụng được điểm $B$, ta sẽ đi được "đường tắt" như lời giải ban đầu ở post trên.

Tóm lại, một bài toán luôn có nhiều cách giải. Một số cách giải vận dụng được dữ kiện đề bài gợi ý thì sẽ ngắn gọn, nhưng khó nghĩ ra. Một số cách giải dài hơn, nhưng hệ thống, nghĩ theo kiểu đơn giản hóa từng bước. Cách đơn giản hóa từng bước thường sử dụng nhiều hơn với những bài tính toán nhiều (như biến đổi tỉ lệ, biến đổi cạnh) theo kiểu trâu bò. Trong phòng thi, bạn cứ trước hết tin là sẽ có lời giải ngắn gọn trước. Nếu không có thì bạn có thể làm như mình gợi ý ở trên, để tìm ra lời giải