Toán lượng giác

[nguyenhan7a1@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR:
$$cos 2\alpha =2 cos^{2}\alpha -1$$

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

CMR:
$$cos 2\alpha =2 cos^{2}\alpha -1$$

Dựng $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C=\alpha$, $AM$ là trung tuyến, $AH$ là đường cao.
$\triangle ABC$ có $AM$ là trung tuyến nên $MA=MB=MC=a$ suy ra $\triangle AMC$ cân tại $M$ suy ra $\widehat{MAC}=\alpha$
Suy ra $\widehat{AMH}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\alpha$ (vì $\widehat{AMH}$ là góc ngoài của $\triangle AMC$ tại $M)$
Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

• $\triangle AHM$ vuông tại $H\Rightarrow \cos 2 \alpha =\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HC-MC}{AM}=\dfrac{HC-a}a=\dfrac{HC}a-1$ (1)
• $\triangle AHC$ vuông tại $H\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow 2\cos^2 \alpha-1=\dfrac{2HC^2}{AC^2}-1$

$\triangle ABC$ vuông tại $A,AH\perp BC\Rightarrow AC^2=HC.BC$ (theo HTL trong tam giác vuông)
$\Rightarrow 2\cos^2 \alpha-1=\dfrac{2HC^2}{AC^2}-1=\dfrac{2HC^2}{HC.BC}-1=\dfrac{2HC^2}{HC.2a}-1=\dfrac{HC}a-1$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\cos 2\alpha =2\cos^2 \alpha -1$ (đpcm)