Toán 10 [Lượng giác] Chứng minh đẳng thức lượng giác

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Helu các bạn, hôm nay mình viết về chủ đề mà được khá nhiều bạn hỏi hiện nay, đó chính là lượng giác.
Chuyên đề lượng giác này cũng có khá nhiều dạng, ở topic này mình sẽ viết về dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác, những dạng khác mình sẽ cập nhật ở những topic sau. Mọi người nhớ theo dõi để không bị bỏ lỡ nhé

Để giải các bài toán liên quan đến biến đổi lượng giác, trước tiên ta phải nhớ và hiểu được ý nghĩa của các công thức lượng giác. Mọi người vào topic Tóm tắt công thức lượng giác 10 để đọc nha

Chúng ta bắt đầu vào dạng này bằng một số ví dụ luôn nhé

VD1: Chứng minh đẳng thức sau:

a. [imath]\dfrac{2}{\sin x} - \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}[/imath]

b. [imath]\dfrac{1}{\cos x} - \tan x = \dfrac{\cos x}{1 + \sin x}[/imath]

c. [imath]\tan x \cdot ( \cot^2 x - 1) = \cot x \cdot (1 - \tan^2 x)[/imath]

d. [imath](1 - \sin^2 x )(1 = 2\tan^2x) = 1 + \sin^2 x[/imath]

Lời giải:

a. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm{VT} & = \dfrac{2(1 + \cos x) - \sin^2 x}{\sin x(1 + \cos x)} \\ & = \dfrac{2 + 2\cos x - (1 - \cos^2 x)}{\sin x(1 + \cos x)} \\ & = \dfrac{2(1+\cos x) - (1 + \cos x)(1 - \cos x)}{\sin x(1 + \cos x)} \\ & = \dfrac{2 - (1 - \cos x)}{\sin x} \\ & = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x} = \mathrm{VP} \end{aligned}[/imath]
b. Ta có:
[imath]\begin{aligned} & \dfrac{1}{\cos x} - \tan x = \dfrac{\cos x}{1 + \sin x} \\ \iff & \dfrac{1 - \sin x}{\cos x} = \dfrac{\cos x}{1 + \sin x} \\ \iff & (1 - \sin x)(1 + \sin x) = \cos^2 x \\ \iff & 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \\ \iff & \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \implies \text{ luôn đúng} \end{aligned}[/imath]
Vậy đẳng thức được chứng minh

2 ý còn lại các bạn thử suy nghĩ làm xem sao nhé
Ta sang tiếp ví dụ 2 nèo

VD2: Chứng minh đẳng thức sau:

a. [imath]4(\cos^4 x + \sin^4 x) = 3 + \cos 4x[/imath]

b. [imath]8(\cos^6 x + \sin^6 x) = 5 + 3\cos 4x[/imath]

c. [imath]16 \cos^3 x \cdot \sin^2 x = 2\cos x - \cos 3x - \cos 5x[/imath]

Lời giải:

a. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm{VT} & = 4 (\cos^4 x + \sin^4 x) \\ & = 4\left[(\cos ^2x)^2 + (\sin^2 x)^2 \right] \\ & = 4\left [(\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x \right] \\ & = 4 \left[ 1 - 2\cdot \left(\dfrac{1}2 \sin 2x \right)^2 \right] \\ & = 4 \left[1 - \dfrac{1}2 \sin^2 2x \right] \\ & = 4 \left[ 1 - \dfrac{1}2 \dfrac{1 - \cos 4x}{2} \right] \\ & = 4 \left[\dfrac{3} 4 + \dfrac{1}4 \cos 4x \right] \\ & = 3 + 4 \cos x = \mathrm{VP} \end{aligned}[/imath]

c. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm{VP} & = 2\cos x - \cos 3x - \cos 5x \\ & = (\cos x - \cos 3x) + (\cos x - \cos 5x) \\ & = -2\sin 2x \cdot \sin (-x) - 2\sin 3x \cdot \sin( - 2x) \\ & = 2\sin 2x \cdot \sin x + 2\sin 2x \cdot \sin 3x \\ & = 2\sin 2x( \sin 3x + \sin x) \\ & = 2\sin 2x \cdot 2\sin 2x \cdot \cos x \\ & = 4(2\sin x \cdot \cos x)^2 \cdot \cos x \\ & = 16 \sin^2 x \cdot \cos^3 x = \mathrm{VT} \end{aligned}[/imath]

Ý b mình để lại cho các bạn thử sức nhaaa

Mình chuyển sang ví dụ 3 nhé

VD3: Chứng minh các đẳng thức sau:

a. [imath]\tan \dfrac{\pi}6 + \tan \dfrac{2\pi}{9} + \tan \dfrac{5\pi}{18} + \tan \dfrac{\pi}3 = \dfrac{8}{\sqrt 3} \cdot \sin \dfrac{7 \pi}{18}[/imath]

b. [imath]\tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ = 4[/imath]

c. [imath]\sin \dfrac{\pi}{30} \cdot \sin \dfrac{7 \pi}{30} \cdot \sin \dfrac{13 \pi}{30} \cdot \sin \dfrac{19 \pi}{30} \cdot \sin \dfrac{25 \pi}{30} = \dfrac{1}{32}[/imath]

d. [imath]\tan 142^\circ 30\rq = 2 + \sqrt 2 - \sqrt 3 - \sqrt 6[/imath]

Lời giải:

a. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm{VT} & = \left(\tan \dfrac{\pi}3 + \tan \dfrac{\pi}6 \right) + \left( \tan \dfrac{5 \pi}{18} + \tan\dfrac{2\pi}{9} \right) \\ & = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}2}{\cos \dfrac{\pi}3 \cdot \cos \dfrac{\pi}6 } + \dfrac{\sin \dfrac{\pi}2 }{\cos \dfrac{5\pi}{18} \cdot \cos \dfrac{2\pi}9 } \\ & = \dfrac{2}{\cos \dfrac{\pi}2 + \cos \dfrac{\pi}6} + \dfrac{2}{\cos \dfrac{\pi}2 + \cos \dfrac{\pi}{18}} \\ & = 2 \left(\dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}6} + \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{18}} \right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{\cos \dfrac{\pi}{18} + \dfrac{\pi}{6}}{\cos \dfrac{\pi}6 \cdot \dfrac{\pi}{18}} \\ & = 2 \cdot \dfrac{2 \cos \dfrac{\pi}{18} \cdot \cos \dfrac{2\pi}{18}}{\dfrac{\sqrt 3}2 \cdot \cos \dfrac{\pi}{18}} \\ & = \dfrac{8}{\sqrt 3} \cdot \cos \dfrac{2\pi}{18} \\ & = \dfrac{8}{\sqrt 3} \sin \dfrac{7\pi}{18} = \mathrm{VP} \end{aligned}[/imath]

c. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm{VT} & = \left(\sin \dfrac{19\pi}{30} \cdot \sin{\pi}{30} \right) \cdot \left (\sin \dfrac{13 \pi}{30} \cdot \sin \dfrac{7 \pi}{30} \right) \cdot \sin \dfrac{5\pi}6 \\ & = \dfrac{1}2 \left(\cos \dfrac{3\pi}5 - \cos \dfrac{2 \pi}3 \right) \cdot \dfrac{1}2 \left(\cos \dfrac{\pi}5 - \cos \dfrac{2\pi}3 \right) \cdot \dfrac{1}2\\ & = \dfrac{1}8 \left(\cos \dfrac{3\pi}5 + \dfrac{1}2 \right) \left(\cos \dfrac{\pi}5 + \dfrac{1}2 \right) \\ & = \dfrac{1}8 \left[ \dfrac{1}4 + \dfrac{1}2 \left( \cos \dfrac{3\pi}5 + \cos \dfrac{\pi}5 \right) + \cos \dfrac{3\pi}5 \cdot \cos \dfrac{\pi}5 \right] \\ & = \dfrac{1}8 \left[ \dfrac{1}4 + \dfrac{1}2 \left( \cos \dfrac{3\pi}5 + \cos \dfrac{\pi}5 \right) +\dfrac{1}2 \left(\cos \dfrac{4\pi}5 + \cos\dfrac{2\pi}5 \right) \right] \\ & = \dfrac{1}8 \left[ \dfrac{1}4 + \dfrac{1}2 \left( \cos \dfrac{3\pi}5 + \cos \dfrac{2\pi}5 \right) = \dfrac{1}2 \left(\cos \dfrac{\pi}5 + \cos \dfrac{4\pi}5 \right) \right] \\ & = \dfrac{1}{32} = \mathrm{VP} \end{aligned}[/imath]

Ý b, d mình để lại để các bạn làm thử nhé ( gợi ý ý d mình đặt [imath]x= 142^\circ 30\rq[/imath])

Hôm nay đến đây thuii. Mình sẽ cập nhất thêm một số ví dụ về dạng toán này ở topic này. Chúc mọi người buổi tối vui vẻ

 

[Timeless time]

Chúng mình cùng đi đến những ví dụ tiếp theo nhé

VD4: Tính các biểu thức sau:

a. [imath]\mathrm A = 4\cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cos 70^\circ[/imath]

b. [imath]\mathrm B = \tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 80^\circ[/imath]

c. [imath]\mathrm C = \tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ \cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 70^\circ\cdot \tan 80^\circ[/imath]

d. [imath]\mathrm D = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cdots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ[/imath]

e. [imath]\mathrm E = \dfrac{(\cot 44^\circ + \tan 226^\circ) \cos 406^\circ}{\cos 316^\circ} = \tan 72^\circ \cot 18^\circ[/imath]

Lời giải:

a. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm A & = (2\cos 70^\circ \cdot \cos 50^\circ) \cdot 2 \cos 20^\circ \\ & = (\cos 120^\circ + \cos 20^\circ) \cdot 2 \cos 10^\circ \\ & = \left(-\dfrac{1}2 + \cos 20^\circ \right) \cdot 2 \cos 10^\circ \\ & = -\cos 10^\circ + 2\cos 20^\circ \cos 10^\circ \\ & = -\cos 10^\circ + \cos 30^\circ + \cos 10^\circ \\ & = \cos 30^\circ \\ & = \dfrac{\sqrt 3}{2} \end{aligned}[/imath]

b. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm B & = \dfrac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \cdot \dfrac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} \cdot \sqrt 3 \cdot \dfrac{\sin 80^\circ}{\cos 80^\circ} \\ & = \dfrac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} \cdot \dfrac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\cos 40^\circ} \cdot \sqrt 3 \cdot \dfrac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} \\ & = 4\sqrt 3 \cdot \dfrac{\sin 40^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}{\sin 10^\circ} \\ & = 4\sqrt 3 \cdot \dfrac{\sin 20^\circ}{\sin 10^\circ} \cdot \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \\ & = 4\sqrt 3 \cdot 2 \cos 10^\circ \cdot \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \\ & = 4\sqrt 3 \cdot \cos 10^\circ (2\sin 40^\circ \cdot \sin 20^\circ) \\ & = 4\sqrt 3 \cos 10^\circ (\cos 20^\circ - \cos 60^\circ) \\ & = 4\sqrt 3 \cos 10^\circ \left( \cos 20^\circ - \dfrac{1}2 \right) \\ & = 2\sqrt 3(2 \cos 20^\circ \cdot \cos 10^\circ - \cos 10^\circ ) \\ & = 2\sqrt 3 (\cos 30^\circ + \cos 10^\circ - \cos 10^\circ) \\ & = 2\sqrt 3 ( 2\cos 20^\circ \cdot \cos 10^\circ - \cos 10^\circ) \\ & = 2\sqrt 2 (\cos 30^\circ + \cos 10^\circ - \cos 10^\circ) \\ & = 2\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ \\ & = 2\sqrt 3 \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} \\ & = 3\end{aligned}[/imath]

c. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm C & = (\tan 80^\circ \cdot \tan 10^\circ) \cdot (\tan 70^\circ \cdot \tan 20^\circ) \cdot ( \tan 60^\circ \cdot \tan 30^\circ) \cdot ( \tan 50^\circ \cdot \tan 40^\circ) \\ & = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 1 \end{aligned}[/imath]

Ý d,e mình để lại để các bạn thử sức nha ( gợi ý ý d áp dụng tính chất 2 cung bù nhau, ý e áp dụng tích chất cung phụ nha )

VD5:
a. Cho [imath]\tan x = 4[/imath]. Tính [imath]\mathrm A = \dfrac{\sin x + \cos x}{\cos x}[/imath] và [imath]\mathrm B = \dfrac{\sin x + 2\cos x}{\sin x - 2\cos x}[/imath]

b. Cho [imath]\cot x = 3[/imath]. Tính [imath]M = \dfrac{\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 3\cos^2 x}{3\sin^2 x - \sin x\cos x + 2\cos^2 x}[/imath]

Lời giải:
a. Ta có:
[imath]\mathrm A = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\cos x} = \tan x + 1 = 4 + 1 = 5[/imath]

Mọi người thử tính KQ của [imath]\mathrm B[/imath] nhaa

b. Ta có:
[imath]\begin{aligned} \mathrm M & = \dfrac{\sin^2 x \left(1 + 4 \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} - 3\cot^2 x \right)}{\sin^2 x \left(3 - \dfrac{\cos x}{\sin x} + 2\cot^2 x \right)} \\ & = \dfrac{1 + 4\cot x - 3\cot^2 x}{3 - \cot x + 2\cot^2 x} \\ & = \dfrac{1 = 4\cdot 3 - 3\cdot 3^2}{3 - 3 + 2\cdot 3^2} \\ & = -\dfrac{7}9 \end{aligned}[/imath]

VD6: Cho [imath]x,y,z = k \pi[/imath] ( với [imath]k[/imath] là số nguyên). Chứng minh rằng: [imath]\cos^2 x + \cos^2y + \cos^2 z = 1 + 2(-1)^k \cos x \cdot \cos y \cdot cos z[/imath]

Lời giải:
Ta có:
[imath]\begin{aligned} \cos^2 x + \cos^2 y + \cos^2 z & = \dfrac{1 + \cos 2x}2 + \dfrac{1 + \cos2y}2 + \cos^2 z \\ & = 1 + \dfrac{1}2 (\cos 2x + \cos 2y) + \cos^2 z \\ & = 1 + \cos(x + y)\cos(x - y) + \cos^2 z \\ & = 1 + (-1)^k \cos z \cdot \cos (x - y) + \cos^2 z \\& = 1 + (-1)^k \cos z \left[ \cos(x - y) + (-1)^k \cos z \right] \\ & = 1 + (-1)^k \cos z \left[ \cos(x - y) + \cos(x + y) \right] \\ & = 1 + 2(-1)^k \cos z \cdot \cos x \cdot \cos y \end{aligned}[/imath]

Chúc các bạn có một buổi tối vui vẻ , mình sẽ cập nhật thêm nhiều dạng ở bài sau nha