[LTDH] BDT ôn thi đại học !

quyenuy0241 · 25 Tháng sáu 2010

Các bạn ơi ! Chúng mình chuẩn bị lên lớp 12 roài !

. Và chắc hẳn chúng ta cũng đã tới việc ôn luyện để thi đại học . Trong những năm gần đây ,trong các đề thi đại học thường có sự xuất hiện đều đặn của BDT.

Chính vì vậy ! mình lập ra topic này mong mọi người cùng vào bạn luận. Và nhớ là không spam nhé

Note:
1) Không chỉ nên post bài tràn lan lên đây mà qt là (1)!!!!

2) Những bài nào cảm thấy không phù hợp sẽ bị xóa (để tránh gây hoang mang vs mọi người!!!)

3) các bài giải dùng kiến thức càng đơn giản càng tốt.

4) Anh chị lớp trên đã "từng trải" nên cố gắng trao đổi giúp tụi em tí kĩ thuật nha!!!

5) (nhờ mọi người bổ sung)

6) Các bạn hãy trình bày bài viết của mình thẩm mĩ 1 chút để Mod đỡ phải sửa,làm topĩ đehp và dễ nhìn hơn.Thanks!

quyenuy0241 · 25 Tháng sáu 2010

Sau đây tớ bắt đầu với 1 bất đẳng thức khá quen thuộc :

Vói 2 số a,b bất kì và x,y là 2 số dương ta luôn có :

[TEX]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(x+y)^2}{x+y}[/TEX]

Bài tập

1. ch0 2 số a,b bất kì CMR:

[TEX]a^4+b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}[/TEX]

2.[TEX]DHA-2005[/TEX]

cho 3 só x,y,z >0 thoả mãn : [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =1 [/TEX]

CMR: [TEX]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+y+x} \le 1[/TEX]

3.cho 3 số a,b,c >0 thoả mãn abc=1 CMR:

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

Mấy bài mở đầu

còn nữa

quyenuy0241 · 25 Tháng sáu 2010

quyenuy0241 said:
Sau đây tớ bắt đầu với 1 bất đẳng thức khá quen thuộc :

Vói 2 số a,b bất kì và x,y là 2 số dương ta luôn có :

[TEX]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(x+y)^2}{x+y}[/TEX]

Bài tập

1. ch0 2 số a,b bất kì CMR:

[TEX]a^4+b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}[/TEX]

2.[TEX]DHA-2005[/TEX]

cho 3 só x,y,z >0 thoả mãn : [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =1 [/TEX]

CMR: [TEX]\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+y+x} \le 1[/TEX]

3.cho 3 số a,b,c >0 thoả mãn abc=1 CMR:

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

Mấy bài mở đầu còn nữa

Có lẽ mấy bài này khá dễ nhỷ?

Để mình làm nhá

1.Áp dụng BDT trên :

[TEX]\frac{a^4}{1}+\frac{b^4}{1} \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} = \frac{(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1})^2}{2} \ge \frac{(a+b)^4}{8}[/TEX]

[TEX]\fbox{:D}[/TEX]

2.

Áp dụng 2 lần BDT trên ta được :

[TEX]\frac{1}{2x+y+z} \le \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]

Các BDT khác tương tự suy ra đc đpcm

3.

Ta có

[tex]\frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{b^2c^2}{ab+bc} [/tex]

[TEX]\frac{b^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}+\frac{a^2c^2}{ab+ac} \ge \frac{(ab+bc+ac)^2}{2(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{2} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

quyenuy0241 · 25 Tháng sáu 2010

Chẳng ai zô bàn luận

sôi nổi đi mọi người

(*)Cho [TEX]a,b \in [2009,2010][/TEX] .Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]B=\frac{a+b}{ab}.(a^2+b^2)[/TEX]

(*)Cho a,b,c là các số thực phân biệt:

CMR:

[TEX]\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+a^2c^2}{(a-c)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}\ge \frac{3}{2}[/TEX]

(*)CMR Với mọi số a,b,c >0 ta luôn có :

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{a^2+2010b^2}{a^3+2010b^3}+\frac{a^2+2010c^2}{a^3+2010c^3}+\frac{b^2+2010c^2}{b^3+2010c^3}[/TEX]

pokco · 26 Tháng sáu 2010

quyenuy0241 said:
Chẳng ai zô bàn luận sôi nổi đi mọi người
(*)Cho [TEX]a,b \in [2009,2010][/TEX] .Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]B=\frac{a+b}{ab}.(a^2+b^2)[/TEX]

áp dụng BĐT cosy
[tex]a^2+b^2\geq2\sqrt{a^2b^2}[/tex]
[tex]a^2+b^2\geq2ab[/tex]
---->B\geq2(a+b)---> min B=2(2009+2009)=8036

ngojsaoleloj8814974 · 27 Tháng sáu 2010

quyenuy0241 said:
Chẳng ai zô bàn luận sôi nổi đi mọi người
(*)Cho [TEX]a,b \in [2009,2010][/TEX]
(*)Cho a,b,c là các số thực phân biệt:

CMR:

[TEX]A=\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+a^2c^2}{(a-c)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}\ge \frac{3}{2}[/TEX]

Đặt:
[TEX]\frac{a+b}{a-b}=x ; \frac{b+c}{b-c}=y ; \frac{c+a}{c-a}=z[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX](x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy+yz+zx=-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq -2(xy+yz+zx)=2(1)[/TEX]
Đặt:
[TEX]\frac{ab-1}{a-b}=m ; \frac{bc-1}{b-c}=n ; \frac{ca-1}{c-a}=p [/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX](m+1)(n+1)(p+1)=(m-1)(n-1)(p-1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow mn+np+pm =-1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow m^2+n^2+p^2 \geq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow C=\frac{(ab-1)^2}{(a-b)^2}+\frac{(bc-1)^2}{(b-c)^2}+\frac{(ac-1)^2}{(a-c)^2} \geq 2 [/TEX](*)
Từ (1) Ta có:
[TEX]B=\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}+\frac{(b+c)^2}{(b-c)^2}+\frac{(c+a)^2}{(c-a)^2}\geq 2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow B+3=\frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)^2}+\frac{2(b^2+c^2)}{(b-c)^2}+\frac{2(c^2+a^2)}{(c-a)^2}\geq 5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow B \geq \frac{5}{2}[/TEX](*)(*)
[TEX]A+3=B+C \geq 2+\frac{5}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq \frac{3}{2}[/TEX]

ngojsaoleloj8814974 · 28 Tháng sáu 2010

quyenuy0241 said:
(*)CMR Với mọi số a,b,c >0 ta luôn có :
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{a^2+2010b^2}{a^3+2010b^3}+\frac{a^2+2010c^2}{a^3+2010c^3}+\frac{b^2+2010c^2}{b^3+2010c^3}[/TEX]

Ta có:
[TEX](a^3+2010b^3)(a+2010b) \geq (a^2+2010b^2)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2+2010b^2}{a^3+2010b^3} \leq \frac{a+2010b}{a^2+2010b^2}[/TEX]
Ta lại có:
[TEX](a^2+2010b^2)(1+2010) \geq (a+2010b)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a+2010b}{a^2+2010b^2} \leq \frac{2011}{a+2010b} \Rightarrow \frac{a^2+2010b^2}{a^3+2010b^3} \leq \frac{2011}{a+2010b} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{2011(a^2+2010b^2)}{a^3+2010b^3} \leq \frac{2011^2}{a+2010b}[/TEX]
Mà ta lại có:
[TEX](\frac{1}{a}+\frac{2010}{b})(a+2010b) \geq 2011^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2010}{b} \geq \frac{2011^2}{a+2010b} \geq \frac{2011(a^2+2010b^2)}{a^3+2010b^3}[/TEX](*)(*)(*)
[TEX]\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{2010}{b})+( \frac{1}{b}+\frac{2010}{c}+( \frac{1}{c}+\frac{2010}{a}) \geq \frac{2011(a^2+2010b^2)}{a^3+2010b^3}+\frac{2011(b^2+2010c^2)}{b^3+2010c^3}+\frac{2011(c^2+2010a^2)}{c^3+2010a^3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow DPCM[/TEX]

quyenuy0241 · 1 Tháng bảy 2010

Tiếp nhá

Giả sử [tex](x_1,y_1),,,(x_2,y_2)[/tex] là nghiệm của hệ :

[tex]\left{\begin{x^2+y^2-x=0 \\ x+ay-a=0 [/tex]

CMR: [tex] (x_1-x_2)^2+(y_1^2-y_2^2) \le 1 [/tex]

quyenuy0241 · 1 Tháng bảy 2010

pokco said:
Chẳng ai zô bàn luận sôi nổi đi mọi người
(*)Cho [TEX]a,b \in [2009,2010][/TEX] .Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]B=\frac{a+b}{ab}.(a^2+b^2)[/TEX]

áp dụng BĐT cosy
[tex]a^2+b^2\geq2\sqrt{a^2b^2}[/tex]
[tex]a^2+b^2\geq2ab[/tex]
---->B\geq2(a+b)---> min B=2(2009+2009)=8036

Đây là 1 bài khá dễ

Thay đổi một chút ta có 1 bài mới khá hay !!

Cho [TEX]a,b \in [2009,2010][/TEX] Tìm giá trị lớn nhất của:

[tex]B=\frac{a+b}{ab^2}(a^2+b^2)[/tex]

tiger3323551 · 1 Tháng bảy 2010

cho [tex]a,b,c > 0;a+b+c=1[/tex] CMR:
[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex][tex]+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \ge 30 [/tex]

quyenuy0241 · 1 Tháng bảy 2010

tiger3323551 said:
cho [tex]a,b,c > 0;a+b+c=1[/tex] CMR:
[tex]A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex][tex]+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \ge 30 [/tex]

[tex]A=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac})+\frac{2}{3ab}+ \frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac} [/tex]

dễ dàng CM được [tex]ab+bc+ac \le \frac{1}{3}[/tex]

Ta có các BDT sau:

[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac} \ge \frac{16}{a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+(ab+ac+bc)}\ge 12(1)[/tex]

Và

[tex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{cb}+\frac{1}{ac} \ge \frac{9}{ab+bc+ac} \ge 27[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac} \ge 18(2)[/tex]

Cộng (1)(2) BDT trên đc

tell_me_goobye · 1 Tháng bảy 2010

tiger3323551 said:
cho [tex]a,b,c > 0;a+b+c=1[/tex] CMR:
[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/tex][tex]+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \ge 30 [/tex]

bài này dễ rùi ạ

có[TEX] \sum \frac{1}{ab} \geq \frac{9}{ab+bc+ac}[/TEX]
nên

VT [TEX]\geq \frac{1}{\sum a^2}+\frac{9}{ab+bc+ac} [/TEX]

đến đây tách ghép thì được như sau( kết hợp AM GM )

VT [TEX]\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{7}{ab+bc+ac} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{21}{(a+b+c)^2} =30 [/TEX]

dấu = xảy ra khi a=b=c =1/3
hoàn tất

tell_me_goobye · 1 Tháng bảy 2010

em đóng góp 1 bài

cho a,b,c >0 và a+b+c=1
CMR[TEX] a^2+b^2+c^2+\sqrt{12abc} \leq 1[/TEX]

quyenuy0241 · 1 Tháng bảy 2010

tell_me_goobye said:
em đóng góp 1 bài

cho a,b,c >0 và a+b+c=1
CMR[TEX] a^2+b^2+c^2+\sqrt{12abc} \leq 1(1)[/TEX]

ta có BDT sau: [tex](ab+bc+ac)^2 \ge 3abc(a+b+c) \Rightarrow ab+bc+ac \ge \sqrt{3abc}[/tex]

[TEX] VT(1) \le a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=1[/TEX]

quyenuy0241 · 1 Tháng bảy 2010

Bài này có lẽ rất phù hợp với đề thi đại học

1.
Cho a,b,c là các số thực dương! thoả mãn [tex]a^2+b^2+c^2 \le \frac{3}{4}[/tex] Tìm min

[tex]P=4(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{2}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}) [/tex]

2.
cho x,y,z >0 thoả mãn : [tex]z^2(x^2+y^2-1)+2xyz+1=0[/tex] CMR:

[tex]\frac{x+y+z+xyz}{xy+yz+xz+1} \le \frac{14}{13}[/tex]

dandoh221 · 1 Tháng bảy 2010

quyenuy0241 said:
Bài này có lẽ rất phù hợp với đề thi đại học

1.
Cho a,b,c là các số thực dương! thoả mãn [tex]a^2+b^2+c^2 \le \frac{3}{4}[/tex] Tìm min

[tex]P=4(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{2}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}) [/tex]

[TEX]\sum \frac{1}{a^3} \ge \frac{9}{a^2+b^2+c^2}\sum \frac{1}{a} \ge \sum \frac{12}{a}[/TEX]

cần tìm min

của [TEX]\prod(a+b) +\frac{3}{2} \sum \frac{a+b}{ab} [/TEX]

Chọn điểm rơi triệt tiêu được[TEX] \prod(a+b)[/TEX] vì nó chỉ bằng [TEX]1[/TEX] do [TEX]a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

quá nhỏ

)

p/s:Bài 2 anh thiếu hẳn 1 cái \frac

trydan · 2 Tháng bảy 2010

1)
$gif.latex$

$gif.latex$

2)
$gif.latex$

$gif.latex$

dandoh221 · 2 Tháng bảy 2010

trydan said:
1)
$gif.latex$

$gif.latex$

2)
$gif.latex$

$gif.latex$

Bài 1 Cauchy-Schwarz dễ rồi

Bài 2 từ giả thiết suy ra a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác

nói thế cũng ko đúng lắm mà phải là

[TEX]a+b \ge c.....[/TEX]

tiger3323551 · 2 Tháng bảy 2010

bài này thi quá hay:cho [tex]x \ge y \ge z >0[/tex]
CM[tex]\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \ge x^2+y^2+z^2[/tex]
pác nào pro

tiger3323551 · 2 Tháng bảy 2010

nếu nói như pác kia thì dễ khỏi cần dùng gt
[tex]a <b+c=>a^2<ab+ac[/tex] cộng từng vế

Tìm kiếm

Tìm kiếm

[LTDH] BDT ôn thi đại học !

quyenuy0241

quyenuy0241

quyenuy0241

quyenuy0241

pokco

ngojsaoleloj8814974

ngojsaoleloj8814974

quyenuy0241

quyenuy0241

tiger3323551

quyenuy0241

tell_me_goobye

tell_me_goobye

quyenuy0241

quyenuy0241

dandoh221

trydan

dandoh221

tiger3323551

tiger3323551