Cho tam giác ABC vuông tại B đường cao BH;AH=4cm CH=9cm
a) Tính BH;AB;BC
b) Từ H kẻ HE vuông góc với BC(E thuộc BC). C/m BE.BC=HA.HC
c) Vẽ trung tuyến BM của tam giác ABC. Tính góc BMH
d) Vẽ phân giác góc ABC cắt AC tại D. C/m
a) $\triangle ABC$ vuông tại $B, BH\perp AC$. Theo HTL trong tam giác vuông ta có:
- $BH^2=AH.CH=4.9=36\Rightarrow BH=6$ (cm)
- $AB^2=AC.AH=(4+9).4=52\Rightarrow AB=2\sqrt{13}$ (cm)
- $BC^2=AC.CH=(4+9).9=117\Rightarrow BC=3\sqrt{13}$ (cm)
b) $\triangle BHC$ vuông tại $H,HE\perp BC\Rightarrow BH^2=BE.BC$ (1)
$\triangle ABC$ vuông tại $B,BH\perp AC\Rightarrow BH^2=HA.HC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $BE.BC=HA.HC$
c) $\triangle BHC$ vuông tại $H$. Theo tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:
$\sin BCH=\dfrac{BH}{BC}=\dfrac 2{\sqrt{13}}\Rightarrow \widehat{BCH}\approx 33,69^{\circ}$
$BM$ là trung tuyến của $\triangle ABC$ vuông tại $B\Rightarrow MB=MC$
Hay $\triangle BMC$ cân tại $M$ nên $\widehat{MBC}=\widehat{MCB}$
$\Rightarrow \widehat{BMH}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=2\widehat{MCB}\approx 2.33,69=67,38^{\circ}$
d) $BD$ là phân giác $\widehat B\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CBD}=45^{\circ}$
Ta có: $S_{ABC}=S_{BAD}+S_{BDC}$ (3)
$2S_{ABC}=BA.BC$ (4)
Kẻ $AI\perp BD,CK\perp BD$
$\triangle BAI$ vuông tại $I\Rightarrow AI=BA.\sin ABI=BA.\sin 45^{\circ}$
$\triangle BCK$ vuông tại $K\Rightarrow CK=BC.\sin CBK=BC.\sin 45^{\circ}$
Lại có: $S_{BAD}=\dfrac12BD.AI=\dfrac12BD.BA.\sin 45^{\circ}\Rightarrow 2S_{BAD}=BD.BA.\sin 45^{\circ}$ (5)
$S_{BCD}=\dfrac12 BD.CK=\dfrac12 BD.BC.\sin 45^{\circ}\Rightarrow 2S_{BCD}=BD.BC.\sin 45^{\circ}$ (6)
Từ (3),(4),(5) và (6) suy ra:
$BC.BA=BD.BA.\sin 45^{\circ}+BD.BC.\sin 45^{\circ}=BD.BA.\dfrac1{\sqrt 2}+BD.BC.\dfrac1{\sqrt 2}$
$\Rightarrow BC.BA=\dfrac{BD}{\sqrt 2}(BC+BA)$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt 2}{BD}=\dfrac{BC+BA}{BC.BA}=\dfrac1{BA}+\dfrac1{BC}$ (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
