Toán [ lớp 9] Chứng minh

[Bonechimte]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x + x^{-1}=7[/tex]
CMR: [tex]x^{10}+ x^{-10}[/tex] là số nguyên

 

[Trần Võ Khôi Nguyên]

Mình nghĩ đây là cách duy nhất, còn bạn nào có cách khác thì càng tốt!
Ta có: [tex](x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=49[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=47[/tex]
Tương tự [tex]x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=322[/tex]
Ta lại có: [tex](x^{2}+\frac{1}{x^{2}})(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})=(x^{5}+\frac{1}{x^{5}})+(x+\frac{1}{x})=15134[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{5}+\frac{1}{x^{5}}=15132[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{10}+\frac{1}{x^{10}}=228977422[/tex] là số nguyên.

Thực tế thì cũng không cần tính ra cụ thể đâu, chỉ cần đặt [tex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=a[/tex] chẳng hạn rồi tính [tex]x^{10}+\frac{1}{x^{10}}[/tex] theo [tex]a[/tex] là được!

 

[Dương Bii]

Cho [tex]x + x^{-1}=7[/tex]
CMR: [tex]x^{10}+ x^{-10}[/tex] là số nguyên

Ta có : $x+x^{-1}=7 \in Z$
$\Leftrightarrow x^2+x^{-2}=47\in Z$
$\Rightarrow x^3+x^{-3}=(x+x^{-1})^3-3(x^2+x^{-2}) \in Z$
$\Rightarrow x^5+x^{-5}=(x^2+x^{-2})(x^3+x^{-3})-(x+x^{-1}) \in Z$
$\Rightarrow x^{10}+x^{-10}=(x^5+x^{-5})^2-2 \in Z$ . ĐPCM

 

[Dương Bii]

Bài toán mở rộng : Cho $x+\frac{1}{x}=7$ Cmr : $x^n+\frac{1}{x^n} \in Z$
gia thiet $\Leftrightarrow x^2-7x+1=0 \Rightarrow x_1^n+x_2^n=x_1^n +\frac{1}{x_1^n}=x_2^n+\frac{1}{x_2^n}=x^n+\frac{1}{x^n}$
Ta se cmr $S=x_1^n+x_2^n \in Z$
Xet $S_1=7 ; S_2=47 ;S_3=202 \in Z$ Vay menh de dung voi $n=1,2,3$.
G/s bai toan dung voi $n=k-2 ; n=k-1;n=k$ ta se cm no dung $n=k+1$
Xet $S_{k+1}=(x_1+x_2)(x_1^k+x_2^k)-x_1x_2(x_1^{k-1}+x_2^{k-1})$
$= (x_1+x_2)((x_1+x_2)(x_1^{k-1}+x_2^{k-1}-x_1x_2(x_1^{k-2}+x_2^{k-2}))) -x_1x_2(x_1^{k-1}+x_2^{k-1})$
$=48(x_1^{k-1}+x_2^{k-1})-7(x_1^{k-2}+x_2^{k-2})=48S_{k-1}-7S_{k-2} \in Z \Rightarrow \square$.
p/s: Sau khi lục lại sách vở lớp 9 tao chép lại bài mở rộng hơn vơi $n$ tặng mày :V