Toán [Lớp 9] Bất đẳng thức

Nguyen152003

Học sinh
Thành viên
26 Tháng bảy 2017
228
31
41
21
Hà Nội

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 ; c + a - b > 0
CMR 1/ ( a + b - c ) + 1/ ( b + c - a) + 1/ ( c + a - b) >= 1/a + 1/b + 1/c
BĐT phụ: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] với x;y dương ( có thể chúng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT phụ ta được:
[tex]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq\frac{2}{c}[/tex]
[tex]\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq\frac{2}{a}[/tex]
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được
$2(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b})\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
 
Top Bottom