Toán [Lớp 9] Bất đẳng thức

[Nguyen152003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 ; c + a - b > 0
CMR 1/ ( a + b - c ) + 1/ ( b + c - a) + 1/ ( c + a - b) >= 1/a + 1/b + 1/c

 

[Ann Lee]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 ; c + a - b > 0
CMR 1/ ( a + b - c ) + 1/ ( b + c - a) + 1/ ( c + a - b) >= 1/a + 1/b + 1/c

BĐT phụ: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] với x;y dương ( có thể chúng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT phụ ta được:
[tex]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq\frac{2}{c}[/tex]
[tex]\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq\frac{2}{a}[/tex]
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được
$2(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b})\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c