Toán [Lớp 9] Bài tập

[dreamhighdoctor]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a^3+b^3=2. tìm GTLN của N=a+b
thanks

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Đặt $a=1-x\Rightarrow b^3=2-(1-x)^3=x^3-3x^2+3x+1\leq x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^2$ (do $-3x^2\leq 3x^2$)
$\Rightarrow b\leq x+1\Rightarrow a+b\leq 1-x+x+1=2$
Dấu "=" xảy ra khi $-3x^2=3x^2\iff x=0\Rightarrow a=1;b=1$ (vì $a^3+b^3=2$)
Vậy $Max \ N=2\iff a=b=1$

 

[huonggiangnb2002]

Đặt a = t +1 . Ta có
$$a^3 + b^3 =2 \Rightarrow (t+1)^3+b^3=2 \Leftrightarrow t^3 + 3t^2 + 3t +1 - 2= -b^3 \Leftrightarrow t^3 + 3t^2 + 3t -1 = -b^3 \Leftrightarrow b^3 = 1- 3t + 3t ^2 - t^3 - 6t^2 \Leftrightarrow b^3 = (1-t)^3 -6t^2$$
Vì $$6t^2\geq 0$$
nên ta có
$$b^3\leq (1-t)^3\Leftrightarrow b\leq 1-t$$
Do đó a+b =< t+1 + 1- t = 2
Dấu = xảy ra <=> t=0 <=> a=b=1
Vậy maxN = 2 khi a=b=1

 

[huonggiangnb2002]

Đặt $a=1-x\Rightarrow b^3=2-(1-x)^3=x^3-3x^2+3x+1\leq x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^2$ (do $-3x^2\leq 3x^2$)
$\Rightarrow b\leq x+1\Rightarrow a+b\leq 1-x+x+1=2$
Dấu "=" xảy ra khi $-3x^2=3x^2\iff x=0\Rightarrow a=1;b=1$ (vì $a^3+b^3=2$)
Vậy $Max \ N=2\iff a=b=1$

$$b^3 \leq (x+1)^3$$ chứ. Em đánh nhầm thành $$(x+1)^2$$ rồi kìa

@dreamhighdoctor : Cùng thảo luận về các bài BĐT ở topic dưới nhé ! https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-thao-luan-cac-bai-bdt-on-thi-vao-lop-10-chuyen.616953/

 

[Ma Long]

cho a^3+b^3=2. tìm GTLN của N=a+b
thanks

Giải:
Thêm 1 sự lựa chọn:
Sử dụng BĐT phụ $$ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}$$.
$N^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\leq a^3+b^3+\dfrac{3}{4}(a+b)^3=2+\dfrac{3}{4}N^3$
$\Rightarrow N^3\leq 8\Rightarrow N\leq 2$
$$MaxN=2\Leftrightarrow a=b=1$$
.....................................................
Ta CM BĐT phụ
$4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$
Suy ra:
$8\geq (a+b)^3\Rightarrow 2\geq N$

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$$b^3 \leq (x+1)^3$$ chứ. Em đánh nhầm thành $$(x+1)^2$$ rồi kìa

@dreamhighdoctor : Cùng thảo luận về các bài BĐT ở topic dưới nhé ! https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-thao-luan-cac-bai-bdt-on-thi-vao-lop-10-chuyen.616953/

em nhầm chị ạ nghĩ 3 mà lại viết 2^^

 

[tranvandong08]

Thêm 1 cách để bạn tham khảo :
[tex]\dpi{150} a^{3}+b^{3}=\frac{a^{3}}{1}+\frac{b^{3}}{1}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b)^{4}}{4(a+b)}=\frac{(a+b)^{3}}{4}[/tex]
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{3}}{4} \Leftrightarrow (a+b)^{3}\leqslant 8\Rightarrow a+b\leq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

 

[Khánh Linh.]

Thêm 1 cách để bạn tham khảo :
[tex]\dpi{150} a^{3}+b^{3}=\frac{a^{3}}{1}+\frac{b^{3}}{1}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b)^{4}}{4(a+b)}=\frac{(a+b)^{3}}{4}[/tex]
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{3}}{4} \Leftrightarrow (a+b)^{3}\leqslant 8\Rightarrow a+b\leq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

hơi khó hiểu... Mà dù sao cũng hay+ngắn gọn

 

[tranvandong08]

hơi khó hiểu... Mà dù sao cũng hay+ngắn gọn

mình làm tắt thế thôi chứ nếu đi thi thì xài các cách trên kìa