Toán [Lớp 9] Bài tập

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Đặt a=1xb3=2(1x)3=x33x2+3x+1x3+3x2+3x+1=(x+1)2a=1-x\Rightarrow b^3=2-(1-x)^3=x^3-3x^2+3x+1\leq x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^2 (do 3x23x2-3x^2\leq 3x^2)
bx+1a+b1x+x+1=2\Rightarrow b\leq x+1\Rightarrow a+b\leq 1-x+x+1=2
Dấu "=" xảy ra khi 3x2=3x2    x=0a=1;b=1-3x^2=3x^2\iff x=0\Rightarrow a=1;b=1 (vì a3+b3=2a^3+b^3=2)
Vậy Max N=2    a=b=1Max \ N=2\iff a=b=1
 

huonggiangnb2002

Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng mười hai 2015
334
328
109
Ninh Bình
Đặt a = t +1 . Ta có
a3+b3=2(t+1)3+b3=2t3+3t2+3t+12=b3t3+3t2+3t1=b3b3=13t+3t2t36t2b3=(1t)36t2a^3 + b^3 =2 \Rightarrow (t+1)^3+b^3=2 \Leftrightarrow t^3 + 3t^2 + 3t +1 - 2= -b^3 \Leftrightarrow t^3 + 3t^2 + 3t -1 = -b^3 \Leftrightarrow b^3 = 1- 3t + 3t ^2 - t^3 - 6t^2 \Leftrightarrow b^3 = (1-t)^3 -6t^2
6t206t^2\geq 0
nên ta có
b3(1t)3b1tb^3\leq (1-t)^3\Leftrightarrow b\leq 1-t
Do đó a+b =< t+1 + 1- t = 2
Dấu = xảy ra <=> t=0 <=> a=b=1
Vậy maxN = 2 khi a=b=1
 

huonggiangnb2002

Mùa hè Hóa học
Thành viên
23 Tháng mười hai 2015
334
328
109
Ninh Bình
b3(x+1)3b^3 \leq (x+1)^3 chứ. Em đánh nhầm thành (x+1)2(x+1)^2 rồi kìa

@dreamhighdoctor : Cùng thảo luận về các bài BĐT ở topic dưới nhé ! https://diendan.hocmai.vn/threads/toan-9-thao-luan-cac-bai-bdt-on-thi-vao-lop-10-chuyen.616953/
 

Ma Long

Học sinh tiến bộ
Thành viên
6 Tháng ba 2017
252
305
161
cho a^3+b^3=2. tìm GTLN của N=a+b
thanks
Giải:
Thêm 1 sự lựa chọn:
Sử dụng BĐT phụ ab(a+b)24ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}.
N3=a3+b3+3ab(a+b)a3+b3+34(a+b)3=2+34N3N^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\leq a^3+b^3+\dfrac{3}{4}(a+b)^3=2+\dfrac{3}{4}N^3
N38N2\Rightarrow N^3\leq 8\Rightarrow N\leq 2
MaxN=2a=b=1MaxN=2\Leftrightarrow a=b=1
.....................................................
Ta CM BĐT phụ
4(a3+b3)(a+b)34(a^3+b^3)\geq (a+b)^3
a3+b3ab(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)
(a+b)(ab)20\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0
Suy ra:
8(a+b)32N8\geq (a+b)^3\Rightarrow 2\geq N
 
Last edited:

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan

tranvandong08

Học sinh chăm học
Thành viên
24 Tháng ba 2017
231
193
109
22
Ninh Bình
Trường THPT Kim Sơn B
Thêm 1 cách để bạn tham khảo :
[tex]\dpi{150} a^{3}+b^{3}=\frac{a^{3}}{1}+\frac{b^{3}}{1}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b)^{4}}{4(a+b)}=\frac{(a+b)^{3}}{4}[/tex]
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{3}}{4} \Leftrightarrow (a+b)^{3}\leqslant 8\Rightarrow a+b\leq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 
  • Like
Reactions: Khánh Linh.

Khánh Linh.

Học sinh gương mẫu
Thành viên
10 Tháng mười một 2013
1,204
1,704
344
22
Ninh Bình
THPT Kim Sơn B
Thêm 1 cách để bạn tham khảo :
[tex]\dpi{150} a^{3}+b^{3}=\frac{a^{3}}{1}+\frac{b^{3}}{1}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{a+b}\geqslant \frac{(a+b)^{4}}{4(a+b)}=\frac{(a+b)^{3}}{4}[/tex]
[tex]\dpi{150} \Leftrightarrow 2\geq \frac{(a+b)^{3}}{4} \Leftrightarrow (a+b)^{3}\leqslant 8\Rightarrow a+b\leq 2[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
hơi khó hiểu... Mà dù sao cũng hay+ngắn gọn
 
Top Bottom