Toán [Lớp 9] Bài tập về bất đẳng thức cosy

[kim mochi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho x,y,z>0 và x.y.z=1

Tìm Min:
P=[tex]\fn_phv \frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Áp dụng bđt cosi 3 số ta có:
$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{1+y}{8}+\dfrac{1+z}{8}
\\\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}.\dfrac{1+y}{8}.\dfrac{1+z}{8}}
\\\geq \dfrac{3}{4}x$
Tương tự như vây thì ta sẽ thu được:
$\fn_phv \frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}
\\\geq \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1+x}{8}-\dfrac{1+x}{8}+......
\\=\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{2y-1}{4}+\dfrac{2z-1}{4}
\\=\dfrac{1}{2}(x+y+z)-\dfrac{3}{4}
\\\geq \dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}-\dfrac{3}{4}
\\=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}
\\=\dfrac{3}{4}$
Dấu '=' khi $x=y=z=1$