Bài 1: Đặt [tex]A=n^6+n^4-2n^2\\ A=n^2(n^4+n^2-2)=n^2(n^2-1)(n^2+2)[/tex]
Xét các trường hợp:
+ Nếu [tex]n\equiv 0(mod3)\Rightarrow n\vdots 3\Rightarrow n^2\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9[/tex]
+ Nếu [tex]n\equiv \pm[/tex] 1(mod3\)[tex]\Rightarrow n^2\equiv 1(mod3)\\ \Rightarrow n^2-1\equiv 0(mod3);n^2+2\equiv 0(mod3)\\ \Rightarrow (n^2-1)(n^2+2)\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9[/tex]
Từ 2 trường hợp trên ta có: [tex]A\vdots 9[/tex] với mọi n (1)
Mặt khác, ta có:
[tex]A=n^6+n^4-2n^2=n^2(n-1)(n+1)(n+2)[/tex]
Xét các trường hợp:
+ Nếu [tex]n=4k\Rightarrow n\vdots 4\Rightarrow n^2\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8[/tex]
+ Nếu [tex]n=4k+1\Rightarrow n-1=4k\vdots4;n+1=4k+2\vdots 2\Rightarrow A\vdots 8[/tex]
+ Nếu [tex]n=4k+2\Rightarrow n\vdots 2\Rightarrow n^2\vdots 4;n^2+2\vdots 2\Rightarrow A\vdots 8[/tex]
+ Nếu [tex]n=4k+3\Rightarrow n-1=4k+2\vdots 2;n+1=4k+4\vdots 4\Rightarrow A\vdots 8[/tex]
Từ các trường hợp trên ta có [tex]A\vdots 8[/tex] với mọi n (2)
Từ (1) và (2) ta có: [tex]A\vdots 72[/tex] với mọi n
Bài 2:
Ta có:
[tex]n^2-n=n(n-1)[/tex] là tích của hai số nguyên liên tiếp nên: [tex]n^2-n\equiv 2(mod3)[/tex] hoặc [tex]n^2-n\equiv 0(mod3)[/tex]
Lại có: [tex]48\vdots 3\Rightarrow n^2-n+48\equiv 0(mod3)[/tex] hoặc [tex]n^2-n+48\equiv 2(mod3)[/tex]
Mà: [tex]289\equiv 1(mod3)[/tex]
[tex]n^2-n+48[/tex] không chia hết cho 289 với mọi n [tex]\in \mathbb{Z}[/tex]
Bài 3:
Vì 2n+1 là số lẻ nên áp dụng hằng đẳng thức mở rộng ta có:
[tex]21^{2n+1}+17^{2n+1}\vdots (21+17)\Rightarrow 21^{2n+1}+17^{2n+1}\vdots 19[/tex]
Mà [tex]5\equiv 5(mod19)\Rightarrow 21^{2n+1}+17^{2n+1}+5\equiv 5(mod19)[/tex]
Vậy số dư của phép chia là 5
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
