Toán 8 [Lớp 8] Chứng minh bất đẳng thức

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Như các bạn đã biết, bài toán chứng minh bất đẳng thức rất phổ biến trong các đề thi, đặc biệt là cuộc thi học sinh giỏi. Có các phương pháp chứng minh bất đẳng thức nhưng trong đề thi tổng hợp, rất khó để biết nên ứng dụng phương pháp nào. Cũng như bài tập này, các bạn sẽ làm thế nào?
Bài 1: Cho a,b >0 thỏa mãn: [tex]a^{3}+b^{3}=a^{5}+b^{5}[/tex]. Chứng minh:[tex]a^{2}+b^{2}\leq 1+ab[/tex]
Bài 2: Cho a,b,c > 0 và abc=1. Chứng minh: [tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[Khôi Bùi]

b1 : giả sử đpcm là đúng , ta có :
a^2 + b^2 <= 1 + ab
<=> a^2 + b^2 - ab <= 1
<=> a^3 + b^3 <= a + b
<=> ( a^3 + b^3 )^2 <= (a+b)(a^5 + b^5)
( do a^3 + b^3 = a^5 + b^5 )
<=> 2a^3b^3 <= a^5b + b^5a
<=> ab(a^4 + b^4 - 2a^2b^2) >= 0
<=> ab(a^2-b^2)^2 >= 0 (1)
Do a ; b > 0 ; (a^2-b^2)^2 >= 0
=> ab(a^2-b^2)^2 >= 0 (2)
Từ (1) ; (2) => điều g/s là đúng
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = 1
b2 :
1/a^3(b+c) + a(b+c)/4 >= 2.1/2a = 1/a (1)

tương tự 1/b^3(a+c) + b(a+c)/4 >= 1/b (2)
1/c^3(a+b) + c(a+b)/4 >= 1/c (3)
Từ (1) ; (2) ; (3)
=> 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b) + a(b+c)/4 + b(a+c)/4 + c(a+b)/4 >= 1/a + 1/b + 1/c
=> 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b) + ab+bc+ac/2 >= 1/a + 1/b + 1/c
=> .... >= 1/a + 1/b + 1/c - (ab+bc+ac)/2 = ab+bc+ac/abc - (ab+bc+ac)/2 = ab + bc + ac/2
>= 3 căn bậc 3 abc / 2 = 3/2
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c = 1

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Như các bạn đã biết, bài toán chứng minh bất đẳng thức rất phổ biến trong các đề thi, đặc biệt là cuộc thi học sinh giỏi. Có các phương pháp chứng minh bất đẳng thức nhưng trong đề thi tổng hợp, rất khó để biết nên ứng dụng phương pháp nào. Cũng như bài tập này, các bạn sẽ làm thế nào?
Bài 1: Cho a,b >0 thỏa mãn: [tex]a^{3}+b^{3}=a^{5}+b^{5}[/tex]. Chứng minh:[tex]a^{2}+b^{2}\leq 1+ab[/tex]
Bài 2: Cho a,b,c > 0 và abc=1. Chứng minh: [tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}[/tex]

cách 2: [tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\\\\ =\frac{\frac{1}{a^2}}{a.(b+c)}+\frac{\frac{1}{b^2}}{b.(c+a)}+\frac{\frac{1}{c^2}}{c.(a+b)}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2.(ab+ac+bc)}=\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\\\\ =\frac{1}{2}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

 

[Sư tử lạnh lùng]

cách 2: [tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\\\\ =\frac{\frac{1}{a^2}}{a.(b+c)}+\frac{\frac{1}{b^2}}{b.(c+a)}+\frac{\frac{1}{c^2}}{c.(a+b)}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2.(ab+ac+bc)}=\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\\\\ =\frac{1}{2}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Cách làm hay đấy, mình thấy nó dễ hiểu lắm! cảm ơn nhé!