Toán 8 [Lớp 8] Câu chốt trong đề thi học sinh giỏi toán

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Như những ai thi học sinh giỏi toán đã biết, trong mỗi đề thi, thường có câu cuối cùng là một câu rất khó. Nó đòi hỏi phải có sự thông minh và lòng kiên trì học từ trước mới có thể làm được. Hôm nọ, mình thấy cái đề có câu chốt cuối bài rất hay và khó nên muốn thử sức với mọi người, mong mọi người trả lời nhiệt tình để biết khả năng của mình đến đâu cũng như học hỏi kiến thức của nhau!
Bài đây mọi người
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Dựng phía trong hình vuông 1 tam giác AFB cân tại F có góc ở đáy là 15 độ. Chứng minh: CDF là tam giác đều
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết:
[tex]\huge x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx[/tex]
và: [tex]\huge x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}[/tex]

 

[Minh Dora]

Như những ai thi học sinh giỏi toán đã biết, trong mỗi đề thi, thường có câu cuối cùng là một câu rất khó. Nó đòi hỏi phải có sự thông minh và lòng kiên trì học từ trước mới có thể làm được. Hôm nọ, mình thấy cái đề có câu chốt cuối bài rất hay và khó nên muốn thử sức với mọi người, mong mọi người trả lời nhiệt tình để biết khả năng của mình đến đâu cũng như học hỏi kiến thức của nhau!
Bài đây mọi người
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Dựng phía ngoài hình vuông 1 tam giác AFB cân tại F có góc ở đáy là 15 độ. Chứng minh: CDF là tam giác đều
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết:
[tex]\huge x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx[/tex]
và: [tex]\huge x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}[/tex]

T ngại làm hình nên làm câu 2
x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz
<=>1/2(x-y)^2+1/2(y-z)^2+1/2(x-z)^2=0
Vì 1/2(x-y)^2+1/2(y-z)^2+1/2(x-z)^2>=0
Dấu = xảy ra <=>x=y=z
=>x=y=z
Thay vào pt:
x^2009+y^2009+z^2009=3^2010
<=>3x^2009=3^2010
<=>x^2009=3^2009
x=3
<=>y=z=3
Vậy ..

 

[NikolaTesla]

Như những ai thi học sinh giỏi toán đã biết, trong mỗi đề thi, thường có câu cuối cùng là một câu rất khó. Nó đòi hỏi phải có sự thông minh và lòng kiên trì học từ trước mới có thể làm được. Hôm nọ, mình thấy cái đề có câu chốt cuối bài rất hay và khó nên muốn thử sức với mọi người, mong mọi người trả lời nhiệt tình để biết khả năng của mình đến đâu cũng như học hỏi kiến thức của nhau!
Bài đây mọi người
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Dựng phía ngoài hình vuông 1 tam giác AFB cân tại F có góc ở đáy là 15 độ. Chứng minh: CDF là tam giác đều
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết:
[tex]\huge x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx[/tex]
và: [tex]\huge x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}[/tex]

Bài 2: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0\Rightarrow ....\Leftrightarrow x=y=z[/tex]
thay vào giả thiết 2 => x=y=z=3

 

[Sư tử lạnh lùng]

Bài làm hay đấy! Mình cũng nghĩ phải nhân 2 vào 2 vế rồi rút gọn. OK

 

[Sư tử lạnh lùng]

Bài 2: [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0\Rightarrow ....\Leftrightarrow x=y=z[/tex]
thay vào giả thiết 2 => x=y=z=3

Bạn làm cũng được đấy chứ! Đúng rồi đó!

 

[NikolaTesla]

Bạn làm cũng được đấy chứ! Đúng rồi đó!

mình ko nghĩ đây là câu chốt ...

 

[Vũ Lan Anh]

Như những ai thi học sinh giỏi toán đã biết, trong mỗi đề thi, thường có câu cuối cùng là một câu rất khó. Nó đòi hỏi phải có sự thông minh và lòng kiên trì học từ trước mới có thể làm được. Hôm nọ, mình thấy cái đề có câu chốt cuối bài rất hay và khó nên muốn thử sức với mọi người, mong mọi người trả lời nhiệt tình để biết khả năng của mình đến đâu cũng như học hỏi kiến thức của nhau!
Bài đây mọi người
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Dựng phía ngoài hình vuông 1 tam giác AFB cân tại F có góc ở đáy là 15 độ. Chứng minh: CDF là tam giác đều
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết:
[tex]\huge x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx[/tex]
và: [tex]\huge x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}[/tex]

bài 1 hỏi ngu tí? tam giác CDF có đều hả?

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Như những ai thi học sinh giỏi toán đã biết, trong mỗi đề thi, thường có câu cuối cùng là một câu rất khó. Nó đòi hỏi phải có sự thông minh và lòng kiên trì học từ trước mới có thể làm được. Hôm nọ, mình thấy cái đề có câu chốt cuối bài rất hay và khó nên muốn thử sức với mọi người, mong mọi người trả lời nhiệt tình để biết khả năng của mình đến đâu cũng như học hỏi kiến thức của nhau!
Bài đây mọi người
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Dựng phía ngoài hình vuông 1 tam giác AFB cân tại F có góc ở đáy là 15 độ. Chứng minh: CDF là tam giác đều
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết:
[tex]\huge x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx[/tex]
và: [tex]\huge x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}[/tex]

đề bài 2 sai rồi...hình như phía trong thì phải...

 

[Sư tử lạnh lùng]

đề bài 2 sai rồi...hình như phía trong thì phải...

Ừ đúng đấy, phía trong đấy mình sửa lại rồi. Xin lỗi mọi người nhiều nha!

 

[lengoctutb]

Như những ai thi học sinh giỏi toán đã biết, trong mỗi đề thi, thường có câu cuối cùng là một câu rất khó. Nó đòi hỏi phải có sự thông minh và lòng kiên trì học từ trước mới có thể làm được. Hôm nọ, mình thấy cái đề có câu chốt cuối bài rất hay và khó nên muốn thử sức với mọi người, mong mọi người trả lời nhiệt tình để biết khả năng của mình đến đâu cũng như học hỏi kiến thức của nhau!
Bài đây mọi người
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Dựng phía trong hình vuông 1 tam giác AFB cân tại F có góc ở đáy là 15 độ. Chứng minh: CDF là tam giác đều
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết:
[tex]\huge x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx[/tex]
và: [tex]\huge x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}[/tex]

Bài $2$ $:$
Ta có $:$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx \Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=2xy+2yz+2zx \Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}+ y^{2}-2yz+z^{2}+ z^{2}-2zx+ x^{2} =0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}+ (y-z)^{2}+ (z-x)^{2} =0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=0 \\ y-z=0 \\ z-x=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y \\ y=z \\ z=x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=z$
Khi đó $:$ $x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010} \Leftrightarrow x^{2009}+x^{2009}+x^{2009}=3^{2010} \Leftrightarrow 3x^{2009}=3^{2010} \Leftrightarrow x^{2009}=\frac{3^{2010}}{3}=3^{2009} \Leftrightarrow x=3 \Leftrightarrow x=y=z=3$
Vậy $(x;y;z)=(3;3;3)$

 

[tsukiyama]

bài 1 hỏi ngu tí? tam giác CDF có đều hả?
View attachment 103317

Đề ghi phía trong hình vuông mà bạn

 

[Sư tử lạnh lùng]

Đề ghi phía trong hình vuông mà bạn

Lúc trước mình ghi nhầm đấy, bây giờ thì đúng rồi! Mời bạn làm thử bài hình

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Lấy E trong hình vuông ABCD sao cho tam giác DCE đều.
Ta có:
DE=DA
góc ADE= 30 độ.
[tex]\Rightarrow[/tex] góc DAE= 75 độ,góc DAB=90 độ.
[tex]\Rightarrow[/tex] góc BAE'= 15 độ.
Tương tự ta có góc ABE=15 độ.
Suy ra F trùng E
Vậy...

 

[Sư tử lạnh lùng]

Lấy E trong hình vuông ABCD sao cho tam giác DCE đều.
Ta có:
DE=DA
góc ADE= 30 độ.
[tex]\Rightarrow[/tex] góc DAE= 75 độ,góc DAB=90 độ.
[tex]\Rightarrow[/tex] góc BAE'= 15 độ.
Tương tự ta có góc ABE=15 độ.
Suy ra F trùng E
Vậy...

Mình có cách này không biết đúng không nữa:
Giả sử tam giác CDF đều=>DF=CF, góc ADF= góc BCF
=> tam giác ADE= tam giác BCF => góc DAF = góc CBF (1)
Vì: góc FAB = FBA = 15 độ
và: góc DAB = góc CBA
=> góc DAF = góc CBF <điều này vẫn đúng nếu tam giác CDF không phải tam giác đều> (2)
Từ (1) và (2) => Tam giác CDF đều

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Mình có cách này không biết đúng không nữa:
Giả sử tam giác CDF đều=>DF=CF, góc ADF= góc BCF
=> tam giác ADE= tam giác BCF => góc DAF = góc CBF (1)
Vì: góc FAB = FBA = 15 độ
và: góc DAB = góc CBA
=> góc DAF = góc CBF <điều này vẫn đúng nếu tam giác CDF không phải tam giác đều> (2)
Từ (1) và (2) => Tam giác CDF đều

mình nghĩ chứng minh thế này k hợp lí bởi đấy là TH nó cân .còn phải cm TH nó không cân thì k đúng nữa thì mới hoàn chỉnh

 

[Sư tử lạnh lùng]

bài 1 hỏi ngu tí? tam giác CDF có đều hả?
View attachment 103317

Nhìn lại cái đề giùm !