Đặt[TEX] A= {a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2, B={b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2, C=
a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n[/TEX]
Cần CM:[TEX]AB\geq C^2[/TEX]
Nếu A=0 hoặc B=0 thì BĐT đc CM
Với [TEX]A,B[/TEX] khác 0
Với [TEX]\forall x[/TEX] ta có:
[TEX](a_1x-b_1)^2\geq0\geq{a_1}^2x^2-2a_1b_1x+{b_1}^2\geq0[/TEX]
[TEX](a_2x-b_2)^2\geq0\geq{a_2}^2x^2-2a_2b_2x+{b_2}^2\geq0[/TEX]
...
[TEX](a_nx-b_n)^2\geq0\geq{a_n}^2x^2-2a_nb_nx+{b_n}^2\geq0[/TEX]
Cộng từng vế n BĐT trên đc:
[TEX]Ax^2-2Cx+B\geq0 (1) [/TEX]
Vì [TEX](1)[/TEX] đúng [TEX]\forall x[/TEX] nên thay [TEX]x=\frac{C}{A}[/TEX] vào [TEX](1)[/TEX] ta đc:
[TEX]A.\frac{C^2}{A^2}-2.\frac{C^2}{A}+B\geq 0 \Rightarrow B-\frac{C^2}{A}\geq 0 \Rightarrow AB-C^2\geq 0\Rightarrow AB\geq C^2[/TEX]
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi [TEX]a_1x=b_1,...,a_nx=b_n[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
