Sửa lại đề bài (đã hỏi lại chính xác đề bài mà bạn
@Thái Đào đưa ra)
Cho [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}[/tex]. Chứng minh [tex]\frac{1}{x^{2011}}+\frac{1}{y^{2011}}+\frac{1}{z^{2011}}= \frac{1}{x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}}[/tex]
(ơ không có ĐK x,y,z khác nhau à)
ĐK: x,y,z khác nhau và khác 0
@Thái Đào mình nghĩ ra cách giải này nhưng hơi dài, bạn tham khảo nha
Có [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz}= \frac{1}{x+y+z}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz[/tex]
Sau một hồi nhân tung ra và đặt nhân tử chung thì bạn đc:
[tex](x+y)(y+z)(z+x)=0[/tex] ( nếu như x,y,z mà không khác nhau thì x hoặc y hoặc z =0, trái với ĐK)
Từ đây có 3 TH x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Mình sẽ làm ví dụ TH x=-y
[tex]\frac{1}{x^{2011}}+\frac{1}{y^{2011}}+\frac{1}{z^{2011}}=\frac{1}{-y^{2011}}+\frac{1}{y^{2011}}+\frac{1}{z^{2011}}=\frac{1}{z^{2011}}[/tex]
[tex]\frac{1}{x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}}=\frac{1}{-y^{2011}+y^{2011}+z^{2011}}= \frac{1}{z^{2011}}[/tex]
từ 2 cái trên suy ra đpcm
2 TH còn lại tương tự
P/s: Bạn chỉ cần nhớ đến bài toán phụ này là làm được
Cho x, y, z khác nhau và: 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z); (x, y, z khác 0). Chứng minh rằng trong ba số đó có ít nhất một cặp đối nhau.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
