Toán [Lớp 7] Bài toán Violympic

[Điệp vụ tuyệt mật]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Phân số tối giản khác 1, biết rằng tích của tử và mẫu bằng 210, và nó có thể viết đựoc dưới dạng số thập phân hữu hạn. Hỏi có bao nhiêu phân số thoã mãn?

b) Cho 2 số x và y nguyên thoả mãn |(3x + 4)2 + |y - 5|| = 1. Số cặp (x;y) thoả mãn là bao nhiêu?

c) Trong một trường trung học Quận Ba Đình, số học sinh khối 6, 7 tỉ lệ với các số 12; 11. Số học sinh khối 7,8 tỉ lệ với các số 5;6. Số học sinh khối 8,9 tỉ lệ với số 11; 13. Biết tổng số học sinh của 4 khối là 518. Số học sinh khối lớp 6 là bao nhiêu?

d) Cho biết: x * ( x - y + z ) = 5; y * ( y - z - x ) = 24; z * ( z + x - y ) = 7. Hãy tìm x, y, z.

*Nhớ ghi cách làm nha!

 

[iceghost]

Spoiler: Câu a

a) Gọi $a, b$ lần lượt là tử số và mẫu số. Không mất tính tổng quát, giả sử $a, b$ cùng dương
Do phân số này có thể viết dưới dạng số thập phân hữu hạn nên mẫu số khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ có thể chứa thừa số $2$ và $5$
Lại có $a \times b = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ nên $b$ chỉ có thể là $2 ; 5 ; 10$ với $a$ tương ứng là $105 ; 42 ; 21$
Như vậy có tất cả $3$ phân số dương là $\dfrac{a}{b}$
(Có thể làm rõ bằng cách liệt kê ra : $ \dfrac{105}2 ; \dfrac{42}5 ; \dfrac{21}{10}$ )

Spoiler: Câu b

b) Chắc đề là :
$\left|(3x+4)^2 + |y-5|\right| = 1$
Dễ thấy $(3x+4)^2 + |y-5| \geqslant 0$ nên ta có thể bỏ dấu gttđ bên ngoài đi
Còn lại : $(3x+4)^2 + |y-5| = 1$
$\iff |y-5| = 1 - (3x+4)^2$
Do $VT \geqslant 0 \implies VP \geqslant 0 \implies (3x+4)^2 \leqslant 1 \implies -1 \leqslant 3x + 4 \leqslant 1 \implies -1,(6) \leqslant x \leqslant -1$
Mà $x \in \mathbb{Z} \implies x = -1$
Thay vào tính được $|y-5| = 1 - [3 \cdot (-1) + 4 ]^2 = 0 \implies y - 5= 0 \implies y = 5$
Vậy có 1 cặp $(x;y)$ thỏa mãn pt : $(x;y) = (-1 ; 5)$

Spoiler: Câu c

c) Gọi $a,b,c,d$ lần lượt là số học sinh của $4$ khối $6,7,8,9$ ($a,b,c,d \in \mathbb{N*} ; a,b,c,d < 518$). Do tổng số HS là $518$ nên $a+b+c+d=518$
Theo đề bài ta có : $a:b = 12:11$ và $b:c = 5;6$ và $c : d = 11:13$
Hay $\dfrac{a}{12} = \dfrac{b}{11}$ và $\dfrac{b}5 = \dfrac{c}6$ và $\dfrac{c}{11} = \dfrac{d}{13}$
Hay $\dfrac{a}{360} = \dfrac{b}{330}$ và $\dfrac{b}{330} = \dfrac{c}{396}$ và $\dfrac{c}{396} = \dfrac{d}{468}$
$\implies \dfrac{a}{360} = \dfrac{b}{330} = \dfrac{c}{396} = \dfrac{d}{468}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
$\dfrac{a}{360} = \dfrac{b}{330} = \dfrac{c}{396} = \dfrac{d}{468} = \dfrac{a+b+c+d}{360+330+396+468} = \dfrac{518}{1554} = \dfrac13$
+) $\dfrac{a}{360} = \dfrac13 \implies a = 120$ (N)
+) $\dfrac{b}{330} = \dfrac13 \implies b = 110$ (N)
+) $\dfrac{c}{396} = \dfrac13 \implies c = 132$ (N)
+) $\dfrac{d}{468} = \dfrac13 \implies d = 156$ (N)
Vậy số học sinh của khối $6$ là $120$ bạn

Spoiler: Câu d

d) Dễ thấy $x,y,z \ne 0$ và $x-y+z \ne 0$
Khi đó theo gt ta có : $x-y+z = \dfrac{5}x$ và $y-z-x = \dfrac{24}y$ và $z+x-y = \dfrac{7}z$
Hay $x-y+z = \dfrac{5}x$ và $x-y+z = \dfrac{-24}y$ và $x - y + z = \dfrac{7}z$
$\implies x-y+z = \dfrac{5}x = \dfrac{-24}y = \dfrac{7}z$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
$x-y+z = \dfrac{5}x = \dfrac{-24}y = \dfrac{7}z = \dfrac{5 + 24 + 7}{x - y + z} = \dfrac{36}{x-y+z}$
$\implies x-y+z = \dfrac{36}{x-y+z} \implies (x-y+z)^2 = 36 \iff x-y+z = \pm 6$
Khi đấy : $\dfrac{5}x = \dfrac{-24}y = \dfrac{7}z = \dfrac{36}{x-y+z} = \dfrac{36}{\pm 6} = \pm 6$
+) $\dfrac{5}x = \pm 6 \implies x = \pm \dfrac{5}6$
+) $\dfrac{-24}y = \pm 6 \implies y = \mp 4$
+) $\dfrac{7}z = \pm 6 \implies z = \pm \dfrac{7}6$
Vậy $(x;y;z) = (\dfrac{5}6 ; -4 ; \dfrac{7}6)$ hoặc $(x;y;z) = (-\dfrac{5}6 ; 4 ; -\dfrac{7}6)$

 

[Viet Hung 99]

a) Phân số tối giản khác 1, biết rằng tích của tử và mẫu bằng 210, và nó có thể viết đựoc dưới dạng số thập phân hữu hạn. Hỏi có bao nhiêu phân số thoã mãn?

b) Cho 2 số x và y nguyên thoả mãn |(3x + 4)2 + |y - 5|| = 1. Số cặp (x;y) thoả mãn là bao nhiêu?

c) Trong một trường trung học Quận Ba Đình, số học sinh khối 6, 7 tỉ lệ với các số 12; 11. Số học sinh khối 7,8 tỉ lệ với các số 5;6. Số học sinh khối 8,9 tỉ lệ với số 11; 13. Biết tổng số học sinh của 4 khối là 518. Số học sinh khối lớp 6 là bao nhiêu?

d) Cho biết: x * ( x - y + z ) = 5; y * ( y - z - x ) = 24; z * ( z + x - y ) = 7. Hãy tìm x, y, z.

*Nhớ ghi cách làm nha!

d) Ta có: $x(x-y+z)=5;y( y - z - x ) = 24; z( z + x - y )=7$
$\Longrightarrow \dfrac{x(x-y+z)}{y(y-z-x)} = \dfrac{5}{24}$
$\Longrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{-5}{24}$
$\Longrightarrow x=\dfrac{-5}{24}y$
Tương tự: $z= \dfrac{7}{5}x=\dfrac{7}{5}x.\dfrac{-5}{24}y=\dfrac{-7}{24}y$
Thay $x=\dfrac{-5}{24}y$ và $z=\dfrac{-7}{24}y$ vào phương trình $y( y - z - x ) = 24$ ta có:
$y\left ( y-\left (\dfrac{-5}{24}y \right )-\left (\dfrac{-7}{24}y \right ) \right )=24$
$\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}y^2=24$
$\Longleftrightarrow y= \pm 4$