$(1) \Leftrightarrow x(x+y)+y(y+z)=0$
$(2) \Leftrightarrow x(x+1)+y(2z+1)=0$
Ta xét các $\vec{u} = (x;y) ; \vec{v}=(x+y;y+z) ; \vec{w}=(x+1;2z+1)$
Đề bài cần cho $x \not=y \not=z$ để 3 véc tơ trên $\not= \vec{0}$
Ta có $\vec{u}.\vec{v}=0 ; \vec{u}.\vec{w}=0 \Rightarrow \vec{v}//vec{w}$
$\Rightarrow \vec{w}=k.\vec{v}$
Bây giờ ta đi tìm số k thông qua tỉ số về độ dài
$|\vec{w}|^2= (x+1)^2+(2z+1)^2=x^2+4z^2+2x+4z+2$
$|\vec{v}|^2=(x+y)^2+(y+z)^2=x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz$
Phương trình $(3) : 3x^2+8y^2+8yz+8xy=2x+4z+2 \Leftrightarrow 3x^2+8y^2+8yz+8xy+x^2+4z^2=2x+4z+2+x^2+4z^2$
$\Leftrightarrow 4|\vec{v}|^2=|\vec{w}|$
$\Rightarrow k=2;k=-2$
TH1 : $k=2 \Rightarrow x+1=2x+2y ; 2z+1=2y+2z$
Từ đó dùng pp thế để giải hpt
TH2 : $k=-2$ cũng như thế