Toán [Lớp 10] Chứng minh đẳng thức

[Pé Mâyyy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a và b là 2 số thực dương chứng minh rằng:
1/a^3 + a^3/b^3 + b^3 >= 1/a + a/b + b
ngoài cách đặt ẩn và dùng cô si cho 3 số ra thì thầy bắt em làm cách khác ai có cách khác cíu em với

 

[Dương Bii]

cho a và b là 2 số thực dương chứng minh rằng:
1/a^3 + a^3/b^3 + b^3 >= 1/a + a/b + b

BĐT $Holder$
[tex](\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3)(1+1+1)(1+1+1)\geq (\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b)^3\geq 9(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b)\Rightarrow \square .[/tex]

 

[Pé Mâyyy]

BĐT $Holder$
[tex](\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3)(1+1+1)(1+1+1)\geq (\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b)^3\geq 9(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b)\Rightarrow \square .[/tex]

cám ơn a :3

 

[iceghost]

cho a và b là 2 số thực dương chứng minh rằng:
1/a^3 + a^3/b^3 + b^3 >= 1/a + a/b + b
ngoài cách đặt ẩn và dùng cô si cho 3 số ra thì thầy bắt em làm cách khác ai có cách khác cíu em với

Thế thì dùng cả hai :v Đặt $\dfrac1a = x, \dfrac{a}{b} =y, b = z$. Suy ra $xyz = 1$
$$VT = x^3 + y^3 + z^3 \geqslant \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^4}{9(x+y+z)} = \dfrac19 (x+y+z)^2 (x+y+z) \geqslant x+y+z$$
do $(x+y+z)^2 \geqslant 9$