Toán 9 Liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

[Master Kaeton]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho hình chữ nhật ABCD, AD=a, AB=[tex]\sqrt{2}a[/tex]. I là trung điểm CD, BI cắt AC tại K.
a)Cm BI vuông góc với AC
b)Tính BK theo a
2.Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Chứng minh:
[tex]\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}[/tex]
3.Cho tam giác ABC vuông tại A. 1 đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt AB,AC lần lượt tại M, N
Chứng minh [tex]\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}\geq \frac{9}{BC^{2}}[/tex]

Mong mọi người giúp mình hướng giải của những bài trên (có thể theo dạng sơ đồ KL<= ...<=GT) (Mai cô mình kiểm tra luôn rồi .-.). Mình cảm ơn mọi người nhiều!

 

[kido2006]

1.Cho hình chữ nhật ABCD, AD=a, AB=[tex]\sqrt{2}a[/tex]. I là trung điểm CD, BI cắt AC tại K.
a)Cm BI vuông góc với AC
b)Tính BK theo a
2.Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Chứng minh:
[tex]\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}[/tex]
3.Cho tam giác ABC vuông tại A. 1 đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt AB,AC lần lượt tại M, N
Chứng minh [tex]\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}\geq \frac{9}{BC^{2}}[/tex]

Mong mọi người giúp mình hướng giải của những bài trên (có thể theo dạng sơ đồ KL<= ...<=GT) (Mai cô mình kiểm tra luôn rồi .-.). Mình cảm ơn mọi người nhiều!

1.
a, Ta có bổ đề sau: cho 4 điểm A,B,C,D bất kỳ,khi đó [TEX] AB^2+CD^2=AD^2+BC^2 \Leftrightarrow AC \perp BD[/TEX]
Bạn xem cách chứng minh tại đây :https://diendan.hocmai.vn/threads/dinh-ly-menelaus.832783/#post-4060336
Nên ta đi chứng minh $AB^2+IC^2=AI^2+BC^2$ (tất cả các cạnh đều tính được theo $a$ nên bạn tự thay số vào tính nhé :vv[tex]\rightarrow[/tex] đúng)

b,Ta có $BK.BI=BC^2$ (hệ thức lượng trong tam giác)
[tex]\Rightarrow BK=\frac{BC^2}{BI}=\frac{BC^2}{BC^2+IC^2}[/tex] (tới đây bạn tự thay số vào tính nhé :>>)

2.
Ta có $BE=BH.\sin{BHE}=AB.\sin{BAH}.\sin{ACB}=BC.\sin^3{ACB}$
Tương tự ta được $CF=BC.\sin^3{ABC}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{BC^2}(\sin^2{ACB}+\sin^2{ABC})=\sqrt[3]{BC^2}$

3.
Gọi [tex]AG\cap BC=H[/tex] và hạ [tex]AK\perp MN\Rightarrow \frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AK^2}\geq \frac{1}{AG^2}=\frac{1}{(\frac{2}{3}AH)^2}=\frac{9}{(2AH)^2}=\frac{9}{BC^2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi K trùng G hay d vuông góc với AG

Nếu còn thắc mắc hay sai sót chỗ nào thì bạn bảo mình nhé

 

[Master Kaeton]

.
Ta có BE=BH.sinBHE=AB.sinBAH.sinACB=BC.sin3ACBBE=BH.sin⁡BHE=AB.sin⁡BAH.sin⁡ACB=BC.sin3⁡ACBBE=BH.\sin{BHE}=AB.\sin{BAH}.\sin{ACB}=BC.\sin^3{ACB}
Tương tự ta được CF=BC.sin3ABCCF=BC.sin3⁡ABCCF=BC.\sin^3{ABC}
⇒BE2−−−−√3+CF2−−−−√3=BC2−−−−√3(sin2ACB+sin2ABC)=BC2−−−−√3⇒BE23+CF23=BC23(sin2⁡ACB+sin2⁡ABC)=BC23\Rightarrow \sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{BC^2}(\sin^2{ACB}+\sin^2{ABC})=\sqrt[3]{BC^2}

Anh ơi, em chưa học về sin cos tan nên có cách làm nào khác không ạ?

AK⊥MN⇒1AM2+1AN2

Anh ơi, đoạn này em chưa hiểu lắm, anh giải thích lại cho em được không ạ? ( tại trong hình của em thì em thấy là AM,AN không vuông góc với nhau nên làm sao để có được hệ thức lượng ạ?)

Em xin lỗi vì đã làm phiền anh và em cảm ơn anh rất nhiều<3

 

[kido2006]

Anh ơi, em chưa học về sin cos tan nên có cách làm nào khác không ạ?

Để anh thử nghĩ xem em nhé :vv
Hoặc em có thể đọc qua trong sách giáo khoa em nhé ^^

Anh ơi, đoạn này em chưa hiểu lắm, anh giải thích lại cho em được không ạ? ( tại trong hình của em thì em thấy là AM,AN không vuông góc với nhau nên em làm sao để có được hệ thức lượng ạ?)

Em xin lỗi vì đã làm phiền anh và em cảm ơn anh rất nhiều<3

Đề cho là tam giác ABC vuông , thì AM và AN hiển nhiên vuông góc rồi
Em thử kiểm tra lại hình nhé ^^