Toán 11 Định lý Menelaus

[nguyenthibaongoc24012006@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của các cạnh BC, CA, AB với đường tròn (I). Các đường thẳng DE, EF, FD lần lượt cắt các đường thẳng AB, BC, CA tại các điểm P, T, Q tương ứng.
1. Chứng minh các điểm P, T, Q thẳng hàng
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm của EQ và FP. Chứng minh OI vuông góc MN.

Mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn rất nhiều

 

[7 1 2 5]

(Vì đây là bài viết lớp 11 nên mình sẽ giải cách của lớp 11. Nếu có thắc mắc gì về cách giải bạn có thể hỏi ở topic này nhé.)

1. Áp dụng định lí Menelaus cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] có P, E, D thẳng hàng ta có: [tex]\frac{PA}{PB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1 \Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{DC}{DB}.\frac{EA}{EC}=\frac{AE}{BD}[/tex]
Tương tự với điểm Q, T và với lưu ý [tex]\frac{AE}{BD}.\frac{DC}{AF}.\frac{BF}{EC}=1[/tex] ta có P,T,Q thẳng hàng theo định lí Menelaus đảo.
2. Theo mô hình đồng quy thì [tex](QEAC)=-1 \Rightarrow ME^2=MA.MC \Rightarrow M[/tex] thuộc trục đẳng phương của [TEX](O),(I)[/TEX]
Tương tự thì N thuộc trục đẳng phương của [TEX](O),(I)[/TEX] nên [TEX]MN \perp OI[/TEX]

 

[nguyenthibaongoc24012006@gmail.com]

(Vì đây là bài viết lớp 11 nên mình sẽ giải cách của lớp 11. Nếu có thắc mắc gì về cách giải bạn có thể hỏi ở topic này nhé.)

1. Áp dụng định lí Menelaus cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] có P, E, D thẳng hàng ta có: [tex]\frac{PA}{PB}.\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}=1 \Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{DC}{DB}.\frac{EA}{EC}=\frac{AE}{BD}[/tex]
Tương tự với điểm Q, T và với lưu ý [tex]\frac{AE}{BD}.\frac{DC}{AF}.\frac{BF}{EC}=1[/tex] ta có P,T,Q thẳng hàng theo định ló Menelaus đảo.
2. Theo mô hình đồng quy thì [tex](QEAC)=-1 \Rightarrow ME^2=MA.MC \Rightarrow M[/tex] thuộc trục đẳng phương của [TEX](O),(I)[/TEX]
Tương tự thì N thuộc trục đẳng phương của [TEX](O),(I)[/TEX] nên [TEX]MN \perp OI[/TEX]

Dạ anh/chị có thể giải thích hay làm rõ hơn ở ý 2 giúp em được không ạ ? Thật ra thì bài này em học ở chuyên đề lớp 10 ạ, do em thấy sgk lớp 10 không có đl menelaus nên em ghi là lớp 11 ạ, em xin lỗi rất nhiều

 

[7 1 2 5]

Dạ anh/chị có thể giải thích hay làm rõ hơn ở ý 2 giúp em được không ạ ? Thật ra thì bài này em học ở chuyên đề lớp 10 ạ, do em thấy sgk lớp 10 không có đl menelaus nên em ghi là lớp 11 ạ, em xin lỗi rất nhiều

Em chưa hiểu chỗ nào nhỉ?

 

[nguyenthibaongoc24012006@gmail.com]

Em chưa hiểu chỗ nào nhỉ?

Dạ là hết ý 2 luôn ạ, do em chưa học mô hình đồng quy với trục đẳng phương, đl menelaus là bài đầu tiên em học trong lớp 10 luôn

 

[7 1 2 5]

Dạ là hết ý 2 luôn ạ, do em chưa học mô hình đồng quy với trục đẳng phương, đl menelaus là bài đầu tiên em học trong lớp 10 luôn

Vậy em đã học hàng điểm điều hòa chưa?

 

[nguyenthibaongoc24012006@gmail.com]

Vậy em đã học hàng điểm điều hòa chưa?

Dạ chưa luôn ạ

 

[7 1 2 5]

2. Bổ đề: Cho 4 điểm A,B,C,D bất kỳ. Khi đó nếu [TEX] AB^2+CD^2=AD^2+BC^2 \Rightarrow AC \perp BD[/TEX]
Chứng minh: Vẽ AH, CK vuông với BD.
Khi đó [TEX]AB^2+CD^2=AD^2+BC^2 \Rightarrow AH^2+HB^2+CK^2+KD^2=AH^2+HD^2+BK^2+KC^2 \Rightarrow HB^2+KD^2=HD^2+KB^2 \Rightarrow HB^2-HD^2=KB^2-KD^2 \Rightarrow BD(HB-HD)=BD(KB-KD) \Rightarrow HB-HD=KB-KD[/TEX]
Mà [TEX]HB+HD=KB+KD \Rightarrow [/TEX] H trùng K hay [TEX]AC \perp BD[/TEX]
Quay lại bài toán:
Ta có: [tex]\frac{PA}{PB}=\frac{AE}{BD}=\frac{AF}{FB}[/tex]
Khi đó [TEX]PA.FB=PB.AF \Rightarrow PA(PB-PF)=PB(PF-PA) \Rightarrow 2PA.PB=PF(PA+PB) \Rightarrow PA.PB=PM(PA+PB)[/TEX]
Mà [tex]MF^2=PM^2;MA.MB=(PA-PM)(PB-PM)=PA.PB-PM(PA+PB)+PM^2=PM^2 \Rightarrow MF^2=MA.MB[/tex]
Lại có: [TEX]MA.MB=MO^2-R^2,MF^2=MI^2-r^2 \Rightarrow MO^2-MI^2=R^2-r^2[/TEX]
Tương tự ta cũng chứng minh đưuọc [TEX]NO^2-NI^2=R^2-r^2 \Rightarrow MO^2-MI^2=NO^2-NI^2 \Rightarrow MO^2+NI^2=MI^2+NO^2[/TEX]
Áp dụng bổ đề trên ta có [TEX]MN \perp OI[/TEX]

Nếu có gì không hiểu bạn có thể hỏi tại topic này nhé.