Toán 10 $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-97y^2}+y\sqrt{1-97x^2}=\sqrt{97}(x^2+y^2)\\ ...\end{matrix}\right.$

[utopiaguy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình:
$ x\sqrt{1-97y^{2}}+y\sqrt{1-97x^{2}}=\sqrt{97}(x^{2}+y^{2}) $
$ 27\sqrt{x}+8\sqrt{y}=\sqrt{97} $

 

[Ann Lee]

Giải hệ phương trình:
$ x\sqrt{1-97y^{2}}+y\sqrt{1-97x^{2}}=\sqrt{97}(x^{2}+y^{2}) (1)$
$ 27\sqrt{x}+8\sqrt{y}=\sqrt{97} (2)$

ĐKXĐ:[tex]x\geq 0;y\geq 0;1-97x^2\geq 0;1-97y^2\geq 0[/tex]
Xét [tex]x=y=0[/tex] không là nghiệm của hệ đã cho.
Khi đó [TEX]x^2+y^2>0[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz vào [TEX]PT(2)[/TEX]ta được:
[tex]97(x^2+y^2)^2=\left ( x.\sqrt{1-97y^2}+y.\sqrt{1-97x^2} \right )^2\leq (x^2+y^2)(1-97y^2+1-97x^2)=(x^2+y^2)[2-97(x^2+y^2)]\\\Rightarrow 97(x^2+y^2)\leq 2-97(x^2+y^2)\\\Leftrightarrow 97(x^2+y^2)\leq 1(3)[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz vào [TEX]PT(1)[/TEX] ta được:
[tex]\sqrt{97}=27\sqrt{x}+8\sqrt{y}\leq \sqrt{(9^2+4^2)[(3\sqrt{x})^2+(2\sqrt{y})^2]}=\sqrt{97(9x+4y)}\\\Rightarrow 1\leq \sqrt{9x+4y}\\\Leftrightarrow 1\leq 9x+4y[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được
[tex]1=1^2\leq (9x+4y)^2\leq (9^2+4^2)(x^2+y^2)=97(x^2+y^2)(4)[/tex]
Từ (3) và (4) suy ra dấu = xảy ra khi [tex]x=\frac{9}{97};y=\frac{4}{97}[/tex]