Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương a,b, thỏa mãn a^5b+3và b^5a+3đông thời là lập phương của các số nguyên dương
Giả sử tồn tại số nguyên dương a,b, thỏa mãn $a^5b+3$ và $b^5a+3$ đông thời là lập phương của các số nguyên dương
Đặt $a^5b+3=x^3;ab^5+3=y^3$
[tex]\Rightarrow x^3-y^3=ab(a^2+b^2)(a-b)(a+b)\equiv 0(mod3)\Rightarrow (x-y)^3\equiv 0(mod3)[/tex]
Mà 3 là số ngyên tố [tex]\Rightarrow x-y\equiv 0(mod3)\Rightarrow x=3k+y\Rightarrow x^3-y^3=9k(3k^2+y^2+ky)\equiv 0(mod9)[/tex]
[tex]\Rightarrow ab(a^2+b^2)(a-b)(a+b)\equiv 0(mod9)[/tex]
Vì [tex]x^3;y^3\equiv 0;\pm 1 (mod9)\Rightarrow a^5b;ab^5\equiv 5;7;6(mod9)[/tex] $(1)$
Xét a hoặc b chia hết cho 3 [tex]\Rightarrow (1)[/tex] vô lí
Do đó cả a và b không chia hết cho 3
[tex]\Rightarrow ab;a^2+b^2\not\equiv 0(mod3)\not\equiv 0(mod9)[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-b)(a+b)\equiv 0(mod9)[/tex]
Vì a và b không chia hết cho 3 nên $(a-b)$ và $a+b$ không cùng chia hết cho 3
Do đó $(a-b)$ hoặc $(a+b)$ chia hết cho 9
TH1: [tex]a-b\equiv 0(mod9)\Rightarrow a^6\equiv a^5b\equiv 5;6;7(mod9)[/tex] (vô lí do $a^3\equiv 0;\pm 1 (mod9) \Rightarrow a^6 \equiv 0;
1(mod9)$)
Tương tự thì ta cũng được $(a+b)$ chia hết cho 9 loại
Do đó giả sử sai
[tex]\Rightarrow [/tex] không tồn tại số nguyên dương a,b, thỏa mãn $a^5b+3$ và $b^5a+3$ đông thời là lập phương của các số nguyên dương
Nếu còn thắc mắc hay sai sót chỗ nào thì bảo mình nhé !!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
