( làm hộ)Chứng minh bất đẳng thức

[mrdoanhp1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: Chứng minh bất đẳng thức:



a) A= [tex]\frac{1}{1^2}[/tex] + [tex]\frac{1}{2^2}[/tex] + [tex]\frac{1}{3^2}[/tex] +...[tex]\frac{1}{n^2}[/tex] < [tex]\frac{5}{3}[/tex] ( n> 1)

 

[thinhrost1]

Ta có:

$1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{2n+1} < 1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$

Nên ta sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn:

$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+.. + \dfrac{1}{n^2} < 1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{2n+1} $

Mặt khác:

$\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{4}{4.2^2}<\dfrac{4}{4.2^2-1}=\dfrac{2}{2.2-1}-\dfrac{2}{2.2+1}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{1}{3^2}=\dfrac{4}{4.3^2}<\dfrac{4}{4.3^2-1}= \dfrac{2}{2.3-1}-\dfrac{2}{2.3+1}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{7}\\..............................\\ \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{4}{n^2}< \dfrac{4}{4n^2-1}= \dfrac{2}{2n-1}- \dfrac{2}{2n+1} = \dfrac{2}{2n-1}-\dfrac{2}{2n+1}$

Cộng vế với vế ta có đpcm...

 

[congchuaanhsang]

Xét dạng tổng quát với a tự nhiên lớn hơn 1

$\dfrac{1}{a^2}$ < $\dfrac{1}{a^2-1}=\dfrac{1}{(a-1)(a+1)}$

Cho a chạy từ 2 đến n có:

VT<$1+\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+.....+\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$

\Leftrightarrow VT<$1+\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{n+1})$<$\dfrac{3}{2}$<$\dfrac{5}{3}$