- 20 Tháng chín 2013
- 5,018
- 7,484
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM


Chào các bạn. Không biết các bạn đã biết chưa nhưng từ lúc thầy mình chỉ mình cách nhìn nguyên hàm từng phần mà khỏi đặt $u$ và $v$, mình thấy cuộc sống này tươi đẹp hẳn lên 
Công thức nguyên hàm từng phần: $$\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$$
Nếu viết dưới dạng $f(x)$ và $g(x)$ thì nó sẽ như sau: $$\int f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x$$
Để ý rằng, dấu phẩy trên $g(x)$ đã nhảy sang $f(x)$
Đó là lý do nguyên hàm từng phần chỗ mình thường gọi là "nhảy phẩy"!
Một số ví dụ:
1. $$\begin{align} \int \ln x \, \mathrm{d}x &= \int (x)' \ln x \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - \int x \cdot (\ln x)' \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - \int x \cdot \dfrac1x \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - \int \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - x + C \end{align}$$
Nếu quen rồi thì bạn có thể bỏ dấu = thứ hai
2. $$\begin{align} \int x e^x \, \mathrm{d}x &= \int x (e^x)' \, \mathrm{d}x \\
&= x e^x - \int e^x \, \mathrm{d}x \\
&= x e^x - e^x + C \end{align}$$
3. $$\begin{align} I &= \int e^x \cos x \, \mathrm{d}x \\
&= \int (e^x)' \cos x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + \int (e^x)' \sin x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + e^x \sin x - I + 2C \\
\implies I &= \dfrac{e^x \cos x + e^x \sin x}2 + C \end{align}$$
Bài viết đến đây là kết thúc. Chúc các bạn rút ra được gì đó từ bài viết này
Công thức nguyên hàm từng phần: $$\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$$
Nếu viết dưới dạng $f(x)$ và $g(x)$ thì nó sẽ như sau: $$\int f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x$$
Để ý rằng, dấu phẩy trên $g(x)$ đã nhảy sang $f(x)$
Một số ví dụ:
1. $$\begin{align} \int \ln x \, \mathrm{d}x &= \int (x)' \ln x \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - \int x \cdot (\ln x)' \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - \int x \cdot \dfrac1x \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - \int \, \mathrm{d}x \\
&= x \ln x - x + C \end{align}$$
Nếu quen rồi thì bạn có thể bỏ dấu = thứ hai
2. $$\begin{align} \int x e^x \, \mathrm{d}x &= \int x (e^x)' \, \mathrm{d}x \\
&= x e^x - \int e^x \, \mathrm{d}x \\
&= x e^x - e^x + C \end{align}$$
3. $$\begin{align} I &= \int e^x \cos x \, \mathrm{d}x \\
&= \int (e^x)' \cos x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + \int (e^x)' \sin x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, \mathrm{d}x \\
&= e^x \cos x + e^x \sin x - I + 2C \\
\implies I &= \dfrac{e^x \cos x + e^x \sin x}2 + C \end{align}$$
Bài viết đến đây là kết thúc. Chúc các bạn rút ra được gì đó từ bài viết này
Last edited: