Có nhiều hướng để xử lí, nhưng chủ yếu là sử dụng bất đẳng thức để chặn giá trị, sử dụng tính chia hết và sử dụng điều kiện phương trình bậc 2.
Cho hai số nguyên dương a,b bất kì mà có hai ràng buộc về chia hết giữa chúng (không chứa tham số) thì có khả năng tìm ra hai số này không ạ? Nếu được, mong mọi người cho em xin thêm kinh nghiệm ạ.
Ví dụ: [tex]\left\{\begin{matrix} a+1\vdots b\\ b^2+1\vdots a \end{matrix}\right.[/tex]
Từ giả thiết ta suy ra được [TEX]a,b[/TEX] nguyên tố cùng nhau.
Từ giả thiết thì ta lại có [TEX]a+b^2+1 \vdots ab[/TEX]
Đặt [TEX]b^2+a+1=kab \Rightarrow b^2-kab+a+1=0 (1)[/TEX]
Xét a = 1 thì ta có [tex]b \in \left \{ 1;2 \right \}[/tex]
Xét a = 2 thì ta có [tex]b \in \left \{ 1;3 \right \}[/tex]
Xét [TEX]k=1[/TEX]
(1) có nghiệm nguyên khi [tex]\Delta =a^2-4a-4=(a-2)^2-8[/tex] là số chính phương
Đặt [tex](a-2)^2-8=t^2 (t \in \mathbb{N}\Leftrightarrow (a-2-t)(a-2+t)=8[/tex]
Vì [TEX]a-2-t < a-2+t[/TEX] cùng tính chẵn lẻ nên [TEX]a-2-t=2,a-2+t=4 \Rightarrow a=5[/TEX]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 6 \vdots b\\ b^2+1\vdots 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow b \in \left \{ 2;3 \right \}[/tex]
Xét [TEX]a > 2[/TEX].
(1) có nghiệm nguyên khi [tex]\Delta = (ka)^2-4(a+1)[/tex] là số chính phương.
Mà [tex](ka)^2> (ka)^2-4(a+1)= (ka-2)^2+4[(k-1)a-2] > (ka-2)^2\Rightarrow (ka)^2-4(a+1)=(ka-1)^2\Rightarrow 4(a+1)=2ka-1[/tex]
Nhận thấy phương trình trên vô nghiệm do vế trái chẵn, vế phải lẻ.
Vậy [tex](a,b)\in \left \{ (1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(5,2),(5,3) \right \}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
