Gọi d nguyên tố là ước chung của (m²+n²) và (m³+n³)
Có: m³+n³ = (m+n)(m²+n² - mn)
Do d nguyên tố là ước của m³+n³ nên từ trên => d là ước của (m²+n²-mn) hoặc (m+n)
** Nếu d là ước của m+n
m²+n² = (m+n)² - 2mn
d là ước của m²+n² và là ước của m+n nên từ trên ta có d là ước của 2mn
* nếu d = 2 => d là ước của m (do gt m là số chẳn)
từ d là ước của m+n => d = 2 là ước của n => 2 là ước chung của m, n (vô lí)
* d là ước của m (hoặc n) và ước của m+n => d là ước của n (hoặc m)
=> d = 1 (do m, n nguyên tố cùng nhau) trái giả thiết d nguyên tố
** Nếu d là ước của m²+n² - mn và vì d là ước của m²+n² => d là ước của mn
=> d là ước của m (hoặc n)
vì d là ước của m²+n² nên => d là ước của n (hoặc m)
=> d là ước chung của m và n => d = 1 (!)
Tóm lại (m²+n²) và (m³+n³) không có ước chung nguyên tố
=> UCLN(m²+n² , m³+n³) = 1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
