Toán 9 hỏi bài

[hoingu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh cho em là vì sao 1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ạ

 

[Alice_www]

chứng minh cho em là vì sao 1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ạ

hoingu
Ta chứng minh bằng quy nạp như sau
Với [imath]n=1[/imath] ta có: [imath]1^2=\dfrac{1.2.3}6=1[/imath] đúng
Giả sử đẳng thức đúng với [imath]n=k[/imath]: [imath]1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}6[/imath]

Ta chứng minh đẳng thức đúng với [imath]n=k+1[/imath]

[imath]1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}6+(k+1)^2[/imath]

[imath]=\dfrac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}6=\dfrac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}6[/imath]

[imath]=\dfrac{(k+1)(2k^2+7k+6)}6=\dfrac{(k+1)(2k+3)(k+2)}6[/imath]

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta được [imath]1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6[/imath] với [imath]n\in \mathbb{N}^*[/imath]

 

[c3lttrong.0a1.nhphat]

chứng minh cho em là vì sao 1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ạ

hoingu
cách làm không quy nạp
[imath]S=1^2+2^2+3^2+...+n^2[/imath]
Ta có:
[imath]n^3-(n-1)^3=(1^3-0^3)+(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+...+[n^3-(n-1)^3][/imath]
[imath]\Leftrightarrow n^3-(n-1)^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-3(1+2+3+...+n)+n[/imath]
[imath]\Leftrightarrow n^3-(n-1)^3=3S- 3.\dfrac{n(n+1)}{2}+n[/imath]
[imath]\Leftrightarrow S=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/imath]